大学数学

質問

p,q>1,1/p+1/q=1のときa,b≥0に対してab≤a^p/p+b^q/qを示せ。
の解き方と回答が知りたいです

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

Jensen の不等式を使って綺麗に示すのが一般的であるが、ここでは直接示す。

x = a^p, y = b^q ⇔ a = x^(1/p), b = y^(1/q) としてx, yを導入すると、問題の不等式は、x^(1/p) y^(1/q)≦ x/p + y/q となるから、これを示せば良い。
先ず x=yの時は 左辺 = x^(1/p) x^(1/q) = x、右辺 = x/p + x/q = x となるから、両辺等しく、問題の不等式は成り立つ。
そこでx≠yとするx>yとしても一般性を失わない。

g(z) = (x^z) (y^(1-z)) - (zx + (1-z)y) （但し、0≦z≦1）とすると、(x^z)(y^(1-z)) = exp(z log(x) + (1-z)log(y))であるから、
g'(z) = (x^z) (y^(1-z)) (log(x) - log(y)) - (x -y)
= (x-y) (x^z)(y^z) { (log(x)-log(y)) / (x-y) - 1/( (x^z)(y^(1-z) ) }

ここで、平均値の定理より、ある cが存在し、y<c<xかつ、(log(x) - log(y)) / (x-y) = 1/cを満たす。
一方、x>yであるから、(x^z)(y^(1-z)) =(√(xy)) * ((x/y)^(z-1/2)) は（zに対し）単調増加、従って 1/( (x^z)(y^(1-z) ) は単調減少で、z=0の時 1/y, z=1の時 1/xであるから、h(z) = (log(x)-log(y)) / (x-y) - 1/( (x^z)(y^(1-z) )は単調増加で、h(0) = 1/c - 1/y < 0, h(1) = 1/c -1/x > 0となる。h(z) = 0は、0≦z≦1の間に、ただひとつの解 dを持つ。

従って、g(z) （但し、0≦z≦1）は、0≦z≦dの時単調減少、z=dの時最小、d≦z≦1の時単調増加。g(0) = g(1) = 0であるから、0≦z≦1においてg(z)≦0である。 z = 1/pとおくと、1-z = 1/qとなるから、x^(1/p) y^(1/q)≦ x/p + y/q が得られる。

回答No.2

tmppassenger

一応一言断っておくと、a=0の時は左辺=0, 右辺≧0なので明らか。b=0の時も同様。従って、ab≠0の時だけ考えればよい。

お礼

ありがとうございました。