数学の質問です。

質問

1辺が10cmの正三角形ＡＢＣ(底辺の左点A、底辺の右点B)において、
辺ＡＢ上を動くＰと辺ＢＣ上を動くＱがあります。
Ｐは点Ａから点Ｂに向かって毎分1cmの速さで動き、
Ｑは点Ｂから点Ｃに向かってＰの2倍の速さで動きます。
ＰＱ間の距離が最小になるのは、スタートしてから何分後ですか。

証明を含めて解法のご教授をお願いいたします。

回答No.2

noname#189285

点Aを原点(0,0)と考えて下さい。するとBの座標は(10,0)です。

X分後のP、Q座標はそれぞれ(X,0)と(10-X , X・√3)です。

従って二点間の距離をLとしたら

L^2＝(X-(10-X))^2＋(0-X・√3)^2

　　＝(X-10+X)^2＋(-X・√3)^2

　　＝(2X-10)^2＋3X^2

　　＝4X^2-40X＋100+3X^2

　　＝7X^2-40X+100

です。距離の2乗が最小となれば距離も最小となるので、上の式をY=としたグラフ

Y＝7X^2-40X+100　(放物線)

これを積分して

Y’＝14X-40　(放物線の接線勾配)

これがゼロとなるX

14X-40＝0

X＝20/7

以上、X＝20/7(分)の時、L^2が最小となりLも最小となります。(これが答えです)

ちなみにその時のLは

L^2＝400/7　-　800/7　＋　100　＝　300/7

L＝√(300/7)＝6.5465・・・

です。

回答No.1

tomokoich

x分後のPBの長さ(10-x)cm,BQの長さ2xcm
PQの長さは余弦定理より
PQ^2=PB^2+BQ^2-2PB×BQ×cos60°
=(10-x)^2+(2x)^2-2×(10-x)×2x×(1/2)
=100-20x+x^2+4x^2-20x+2x^2
=7x^2-40x+100
=7(x-(20/7))^2+300/7

x=20/7分後に最小