数学的帰納法ではない解き方

質問

すべての自然数nについて、n＾３＋２nは３の倍数である。

この問題を数学的帰納法を　使わないで

解く方法を問題としてだされました
自分では何回しても解けませんでした

途中式など馬鹿な自分にも
わかりやすくしていただくと助かります

お願いします！！

回答No.3

think2nd · ベストアンサー

帰納法がベストです。数学はThinkですから、自分なりに別解を探る精神は必要です。
　解法の根拠(ベース)にある性質は次の２つです。
１　自然数が3の倍数ならば、3kと書けてkはただ一つの自然数である。逆にkが自然数で3k
と書けるならば3kは３の倍数である。
２　連続する３つの自然数n,n+1,n+2の中には必ず３の倍数がある。
これをよりどころにして解いてみましょう。
nを自然数とする。(n≧1)
　n^3+2n
=n^3+2n+3n^2-3n^2
=n(n^2+3n+2)-3n^2
=n(n+1)(n+2)-3n^2 ・・・(1)
n(n+1)(n+2)は３の倍数だから3kとなる自然数kがnを決めるごとにただ一つ決まる。
　　よってn(n+1)(n+2)=3k とかける。
(1)の右辺は
　=3k-3n^2
=3(k-n^2)
　と変形すると、3の倍数だから(k-n^2が自然数になることは了解できますか？)
　左辺のn^3+2nも３の倍数である。

回答No.4

ereserve67

（証）n^3+2n=(n^3-n)+3n=(n-1)n(n+1)+3n

n-1,n,n+1は連続する3整数だからいずれかは3の倍数，したがって(n-1)n(n+1)は3の倍数．また3nも3の倍数．

よってn^3+2nは3の倍数．（終）

※nは整数としても成り立ちます．

回答No.2

asuncion

同じ質問を、時間をあけずにする、という
行為の意味が全くわかりません。
どういうことなのでしょうか。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
「3の倍数」の問題では、
「3で割ったあまりで場合分けする」ことを考えると解けることがよくあります。
具体的には、n＝ 3k, 3k+ 1, 3k+ 2 （k＝0, 1, 2, 3・・・）という感じです。

「k＝ 0からはじまるのがイヤだ」というときには、
n＝ 3k-2, 3k-1, 3k （k＝1, 2, 3・・・）とすれば、
n＝ 1からきちんととることができます。