三次方程式

質問

次の 3次方程式を幾何学的に解くにはどのような円錐曲線をそれぞれ2つ用いればよいか。
(1). x3+qx:px2+r (2). x3+px:r (3). x3+px2+qx=r
教えて頂きたいです。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

「：」は「＝」の意味で、具体的にグラフによる3次方程式の解法を求めているという理解で、基本形の（２）を回答します。

場合１、p=0のとき、与えられた方程式はx^3=r
x^2=y　と　y^2=rx の(0,0)以外の交点を求めればよい。
　　　　∵この２式からyを消去すれば、x(x^3-r)=0 　

場合２、p>0のとき
　　　　y=x^2/(√p)と　x^2+y^2=(r/p)x の(0,0)以外の交点を求めればよい。
　　　　∵この２式からyを消去すれば、x(x^3+px-r)=0 　

場合３、p<0のとき　P=-p とおくと方程式はx^3-Px=r
　　　　y=x^2/(√P)と　x^2-y^2=(-r/P)x の(0,0)以外の交点を求めればよい。
　　　　∵この２式からyを消去すれば、x(x^3-Px-r)=0 　

実例１、x^3+2x=4 を解く、y=x^2/√2 と　x^2+y^2=2x の(0,0)以外の交点のx座標x≒1.18
実例２、x^3-2x=4 を解く、y=x^2/√2 と　x^2-y^2=-2x の(0,0)以外の交点のx座標x=2

（１）のときx=X+(p/3)、（３）のときはx=X-(p/3)とおくと、それぞれ２次の項がないXに関する３次方程式になるので、（２）の結果を参考にしてください。具体的にグラフ解を求めるには、できるだけ描きやすい単純な2次曲線の交点に帰着させるのが便利で、できれば2つの曲線が直交に近い状態で交わってくれた方が読み取り誤差が小さくなります。

回答No.1

f272

(1)(2)は3次方程式に見えない。
(3)は
x^3+px^2+qx=r
の解は
x^2=py
という放物線と
p^2*y^2+p^2*xy+qx^2-rx=0
という円錐曲線の交点のx座標(原点以外)となる。