線形代数について

質問

次の問いに答えよ。
(1)次の２次形式の符号を求めよ。
f(x,y,z,w) = x^2+4y^2+4z^2-w^2+2xy-2xz+2yz+2xw+4yz+4yw
g(x,y,z,w) = xz+xw+yz+yw
(2)h(x,y,z)=x^2+z^2+6xy+4xz+6yzとおく。
　 （x y z）がx^2+y^2+z^2=1を満たすとき、h(x,y,z)の最大値、最小値、及びそれらを与える(x y z)をそれぞれ求めよ。

この問題の解答をよろしくお願いします。

回答No.1

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(1)のf(x,y,z,w)の式で
　yxの項が２度出てきますが合っていますか？

(1)のg(x,y,z,w)
　２乗の和で表した時の係数の符号を求めるのであれば
　g(x,y,z,w)=(1/4)(x+z+w)^2-(1/4)(x-z-w)^2+(1/4)(y+z+w)^2-(1/4)(y-z-w)^2
　となるから、係数の符号は正が２個、負が２個となる。

(2)
ラグランジュの未定乗数法を用いて
　F(x,y,z)=f(x,y,z)-tg(x,y,z)=x^2+z^2+6xy+4xz+6yz-t(x^2+y^2+z^2-1)

　Fx=2x+6y+4z-2tx=0
　Fy=6x+6z-2ty=0
　Fz=2z+4x+6y-2tz=0
　x^2+y^2+z^2=1

この連立方程式を解くと
　(t,x,y,z)=(6,1/√3,1/√3,1/√3),(6,-1/√3,-1/√3,-1/√3),
　　　　　 (-3,1/√6,-√(2/3),1/√6),(-3,-1/√6,√(2/3),-1/√6)

t=6の時 f(1/√3,1/√3,1/√3)=f(-1/√3,-1/√3,-1/√3)=6(最大値)

t=-3の時 f(1/√6,-√(2/3),1/√6)=f(-1/√6,√(2/3),-1/√6)=-3(最小値)

補足

はいその表記の通りで計算してもらっていただいて大丈夫です。