数学におけるO(1)の意味は何でしょうか？

質問

次元解析について記載されている専門書(ストロガッツ 非線形ダイナミクス)に，「dφ/dtとd²φ/dt²の新しい導関数はO(1)，つまり１のオーダーになるはずだ」，また「導関数は上記の仮定からO(1)であり，またsinφ≒O(1)なので，」とありました．

この「O(1)」の意味が分からず，またなぜ「O(1)」なら「１のオーダー」なのか，そもそも「１のオーダー」とは何なのかわかりません．またなぜ「sinφ≒O(1)」なのか分かりません．

ご回答どうぞよろしくお願いいたします．

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

https://ja.wikipedia.org/wiki/ランダウの記号
に書いてある通り
ランダウの記号
f(x)=O(g(x))
は変数xを極限に飛ばした時の関数fの振る舞い(漸近的挙動)を,
別の関数gを目安にして記述する目的で用いられる.

∃x_0,∃M>0 s.t.(x>x_0→|f(x)|<M|g(x)|)
の時
f(x)=O(g(x)) as x→∞
と定義する

∃δ,∃M>0 s.t.(|x-a|<δ→|f(x)|<M|g(x)|)
の時
f(x)=O(g(x)) as x→a
と定義する

例えば
f(φ)=sinφ
g(φ)=1
とすると
|f(φ)|=|sinφ|≦1=|g(φ)|
だから

sinφ=O(1) as φ→∞
sinφ=O(1) as φ→a

「1のオーダー」とは「有界」という意味になります

お礼

ありがとうございました！