一様連続とリプシッツ連続の違いが分かりません。

質問

一様連続とリプシッツ連続の違いを教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

[0,1]={x;0≦x≦1}
f:[0,1]→R
f(x)=√x

とすると

任意のε>0
に対して
δ=ε^2
とすると
|x-y|<δ
0≦x≦1
0≦y≦1
となる任意のx,yに対して
x-δ<y<x+δ
0≦y<x+δ=(√x+√δ)^2-2√x√δ≦(√x+√δ)^2
↓δ=ε^2だから
0≦y<x+δ≦(√x+ε)^2
↓各辺を(1/2)乗すると
0≦√y<√(x+δ)≦√x+ε
√y<√x+ε
√y-√x<ε

y-δ<x<y+δ
↓δ=ε^2だから
0≦x<y+δ≦(√y+ε)^2
↓各辺を(1/2)乗すると
0≦√x<√(y+δ)≦√y+ε
√x<√y+ε
√x-√y<ε
↓これと√y-√x<εから
|√x-√y|<ε
|f(x)-f(y)|<ε
だから
f(x)は
[0,1]で一様連続

だけれども

任意の

K>0
に対して
x=min(1/(2K)^2,1)
とすると

K<2K≦1/√x=(√x)/x=f(x)/x=|f(x)-f(0)|/|x-0|

K|x-0|<|f(x)-f(0)|
だから
リプシッツ連続でない

お礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます！

回答No.2

muturajcp

訂正します
f(x)=|x|
は
リプシッツ連続でした

[0,1]={x;0≦x≦1}

f(x)=√x
は
[0,1]で一様連続だけれども
x=0で微分不可能だから
リプシッツ連続でない

回答No.1

muturajcp

[-1,1]={x;-1≦x≦1}
[0,1]={x;0≦x≦1}

f(x)=|x|
は
[-1,1]で一様連続だけれども
x=0で微分不可能だから
リプシッツ連続でない

f(x)=√x
は
[0,1]で一様連続だけれども
x=0で微分不可能だから
リプシッツ連続でない