微分方程式におけるリプシッツ条件に関する質問です。

質問

微分方程式におけるリプシッツ条件に関する質問です。

リプシッツ連続であるが、微分不可能な関数でf(x)=|x|などより少しレベルの高いものではどのようなものがありますか？
またできればその証明も教えてください。

回答No.1

muturajcp

f(x)=1/(1+|x|)
とすると
|f(x)-f(a)|
=|1/(1+|x|)-1/(1+|a|)|
=||a|-|x||/(1+|x|)(1+|a|)
≦|x-a|

x>0→f'(x)=-1/(1+x)^2→f'+(0)=-1
x<0→f'(x)=1/(1-x)^2→f'-(0)=1≠f'+(0)
x=0で微分不可能