微分方程式のリプシッツ連続に関する問題です。

質問

微分方程式におけるリプシッツ連続に関する質問です。
リプシッツ連続な関数で、f(x)=xのような初歩的なものでなく、よりレベルの高い関数ではどのような例がありますか？
できればその証明も教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

この性質そのものが書いてる本は限られるかもしれませんが要となる事実は
「絶対連続である関数はある局所可積分関数(locally L^1)の定積分で表される」というものです。
これは実解析と呼ばれる本であれば大抵載っているはずです。
そして、リプシッツ連続性との繋がりですが、まずリプシッツ連続であれば絶対連続であることは定義より明らかですよね？そこで上の定理を使えばあるL^1関数hの定積分になっているわけです。すなわち、

f(x)=∫_0^x h(t) dt

これは言い換えるとリプシッツ連続な関数はほとんどいたるところ微分可能でその導関数はhで、更にリプシッツ連続の条件よりhは有界でなければならず、fは「有界、局所可積分な関数」の定積分で実現されることが分かります。しかしながら、有界であれば局所可積分なので結局単に有界な可測関数の定積分でなければならないことが従います。

回答No.1

ringohatimitu

レベルの高い関数というものがどのようなものかによりますが、例えば実数体R上で有界な可測関数h(x)に対してf(x)=∫_0^x h(t)dtと定義すればこのf(x)はリプシッツ連続になります。
この証明は
|f(x)-f(y)|≦(sup_{t∈R}|h(t)|)|x-y|
で十分でしょう。

そして実はR上リプシッツ連続な関数はこのように表わされるものに限ることが知られています。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
この事実に興味を持ちましたので、詳しく書いてある参考書などありましたら教えていただけませんでしょうか？