数学のもんです。教えてください。

質問

この問題で、最後の範囲の求め方がわかりません。
教えてください。
※最後の部分
テ≦x≦pにおいてlog2g(x)のとる整数値がちょうど3個となるような
pの値の範囲は
ナ≦p＜log2 　二である。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

g(x)=2^(2x+1)+3・2^(x+1)-4
g(1)=16
g(-1/2)=3√2-3
である.
t=2^x
とおき,g(x)をtを用いて表すと
g(x)=2t^2+6t-4
である
g(x)=4を満たすxの値は
g(x)=2t^2+6t-4=4
2t^2+6t-8=0
t^2+3t-4=0
(t-1)(t+4)=0
2^x=t=1
x=0であり,xがx≧0の範囲を動くとき,
t≧1
g(x)
=2(t^2+3t-2)
=2(t+3/2)^2-17/2
≧25/2-17/2
=4

log_{2}g(x)
≧log_{2}4
=2

pを
p>0を満たす定数とする.
0≦x≦pにおいて
log_{2}g(x)
のとる整数値が
log_{2}g(0)=2
2≦log_{2}g(x)≦4
2,3,4
のちょうど3個となるような
pの値の範囲は
4≦log_{2}g(p)<5
2^4≦g(p)<2^5
2^p=tとするとg(p)=2(t^2+3t-2)だから
2^4≦2(t^2+3t-2)<2^5
2^3≦t^2+3t-2<2^4
8≦t^2+3t-2<16

8≦t^2+3t-2
↓両辺から8を引くと
0≦t^2+3t-10
0≦(t+5)(t-2)
↓t+5>0だからt+5で割ると
0≦t-2
↓両辺に2を加えると
2≦t

t^2+3t-2<16
↓両辺から16を引くと
t^2+3t-18<0
(t-3)(t+6)<0
↓t+6>0だからt+6で割ると
t-3<0
↓両辺に3を加えると
t<3
↓2≦tだから
2≦t<3
↓t=2^pだから
2≦2^p<3
↓
log_{2}2≦p<log_{2}3

お礼

有り難うございます。