数列の母関数

質問

数列の母関数で行き詰ってしまいました。

http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function#Asymptotic_growth_of_a_sequence
ここにある式で、母関数
　G(a_n; x) = {A(x) + B(x)(1-x/r)^(-β)}/x^α
が与えられたとき、十分大きな n について
　a_n ～ B(r)/(r^αΓ(β))*n^(β-1)*(1/r)^n
となることはどのように導出するのでしょうか？

鞍点法など考えてみましたが上手くいきませんでした。
導出のためのヒントをお願いします。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

ヒントを、ということなのでヒントだけ。G(a_n; x) を単に G(x) と書く。

[1]　「a_n ～ B(r)/(r^αΓ(β))*n^(β-1)*(1/r)^n」というのは、

　　lim[n→∞](a_n / f(n)) = 1

ということ。ただし、

　　f(n) = (B(r)/Γ(β))*n^(β-1)*(1/r)^(n+α) 。

[2]　　G(x) が x = 0 で正則だから、αは整数でなければならない。すると、 G(x) の式において x^α で割算する代わりに、添え字の n をαだけずらせば同じことであることが分かる。 f(n) の式で、(1/r) にかかる指数が n +α になっているのは、そのため。以上から、α= 0 のときだけ示せば十分であることが分かる。以下、α= 0 とする。

[3]　　A(x) をべき級数展開したときの x^n の係数を p_n とし、B(x)(1-x/r)^(-β) をべき級数展開したときの x^n の係数を q_n とする。

　　a_n = p_n + q_n

である（分母のx^αが消えていることに注意）。A(x) の収束半径が r より大きいのだから、

　　lim[n→∞](p_n / f(n)) = 0

であることが簡単に確かめられる。よって、lim[n→∞](q_n / f(n)) = 1 を示せばよい。以下、A(x) = 0 すなわち、a_n = q_n と仮定する。

[4]　　まず、B(x) = 1 のときを考える。このとき、

　　G(x) = (1- x/r)^(-β)

だから、べき級数展開により

　　a_n = Γ(β+n) / (n!r^nΓ(β))

であることが分かる。ここで、Γ(β+n) と n! をスターリングの近似式で近似すれば、lim[n→∞](a_n / f(n)) = 1 であることが確かめられる。

[5]　　あとは、B(x) を徐々に一般化していけばよい。まずは、B(x) = x^k と表される場合、次に、B(x) が多項式の場合を確かめ、最後に、B(x) がべき級数で表される場合を確かめればよい。

お礼

ありがとうございます。
頂いたヒントの行間を頑張って埋めてみます。