面対称なベクトル

質問

正四面体OABCがあり面ABC上の任意の点をDとする面OABに対しDの対象な点をEとする。ベクトルOEを求めよ。ただしベクトルOA =a OB＝b OC=c OD=sa+tb+uc かつs+t+u=1とする。全然わかりませんでした。これ出来ます？

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

正四面体OABCがあり面ABC上の任意の点をDとする面OABに対しDの対象な点をEとする。
ただし
OA =a
OB＝b
OC=c
OD=sa+tb+uc…(1)
かつ
s+t+u=1
とする
OABCは正4面体だから
|a|=|b|=|c|=|b-a|=|c-a|=|c-b|
(a,b)=|a||b|cos(60°)=(|a|^2)/2
=(b,c)=|b||c|cos(60°)=(|a|^2)/2
=(c,a)=|c||a|cos(60°)=(|a|^2)/2
となる…(2)
OE=xa+yb+zc
とすると
DEの中点(DからOABへの垂直点)をF
とすると
OF={(s+x)/2}a+{(t+y)/2}b+{(z+u)/2}c
FはOAB平面上の点だから
OF={(s+x)/2}a+{(t+y)/2}b
{(z+u)/2}c=0
z+u=0
だから
z=-u=s+t-1
だから
OE=xa+yb+(s+t-1)c…(3)

ED⊥OAB
だから
(ED,a)=0
(ED,b)=0
だから
ED
=OD-OE
↓(1),(3)から
=sa+tb+(1-s-t)c-xa-yb+(1-s-t)c
=(s-x)a+(t-y)b+2(1-s-t)c
だから
((s-x)a+(t-y)b+2(1-s-t)c,a)=0
((s-x)a+(t-y)b+2(1-s-t)c,b)=0
だから
(s-x)|a|^2+(t-y)(b,a)+2(1-s-t)(c,a)=0
(s-x)(a,b)+(t-y)|b|^2+2(1-s-t)(c,b)=0
↓(2)から(a,b)=(b,c)=(c,a)=|a|^2/2だから
(s-x)|a|^2+(t-y)|a|^2/2+(1-s-t)|a|^2=0
(s-x)|a|^2/2+(t-y)|a|^2+(1-s-t)|a|^2=0
↓両辺に2/|a|^2をかけると
-2x-t-y+2=0…(4)
-s-x-2y+2=0…(5)
↓(4)両辺に2x+y,(5)両辺にx+2yを加え左右を入れ替えると
2x+y=2-t…(6)
x+2y=2-s…(7)
↓(6)*2-(7)から
3x=s-2t+2
↓両辺を3で割ると
x=(s-2t+2)/3…(8)
↓これを(6)に代入すると
2(s+2-2t)/3+y=2-t
↓両辺に2(2t-s-2)/3を加えると
y=(t-2s+2)/3
↓これと(8)を(3)に代入すると
∴
OE={(s-2t+2)/3}a+{(t-2s+2)/3}b+(s+t-1)c

回答No.3

178-tall

題意についての疑問です。

、「…面OABに対しDの対象な点をEとする」とは、
　　面 OAB を含む平面に対する「D の対象点}

なのですか？

回答No.2

kiha181-tubasa

ベクトルABを「→(AB)」で、ベクトルaを「→(a)」で表すことにします。

この手の問題はすぐに答えは出ません。条件から分かることを一つ一つ積み上げるのが攻略のコツです。

まず、作戦全体を眺めて見ましょう。
　点Dから平面OABへ下ろした垂線の足（点Dを通って平面OABに垂直な直線と平面OABとの交点）をHとする。（※「垂線の足」は今の教科書には出てこないかもしれませんが、短く言うことが出来るので便利な言葉ですよ）
　点Eは平面OABに関しての点Dの対称点。このとき、点Hは線分DEの中点なので
　　→(DE)＝２*(→(DH))
　これから
　　→(OE)＝→(OD)＋→(DE)＝→(OD)＋２*(→(DH))
と求めることが出来ます。

多少難しい問題は、答えを探そうとしないで、今何ができるかを考えることが攻略の早道です。

次に一つずつ攻略していきましょう。
正四面体OABCの一辺の長さをkとしましょう。k≠0は明らか。

（１）点Hを求める。
点Hは平面OAB上の点だから
　　→(OH)＝p*(→(a))+q*(→(b))
と表すことができ
　→(DH)=→(OH)－→(OD)
=p*(→(a))+q*(→(b))-(s*(→(a))+t*(→(b))+u*(→(c)))
=(p-s)*(→(a))+(q-t)*(→(b))-u*(→(c))
DHが平面OABに垂直なので、→(DH)・→(OA)＝０、→(DH)・→(OB)＝０となります。
→(DH)・→(OA)＝０より
((p-s)*(→(a))+(q-t)*(→(b))-u*(→(c)))・→(a)=0
ここで、→(a)・→(b)=k*k*cos60=1/2(k^2)だから
上の等式から
(p-s+(q-t)/2-u/2)k^2=0
p-s+(q-t)/2-u/2=0　　　(∵k≠0)………（イ)

→(DH)・→(OA)＝０より同様にして
(p-s)/2+q-t-u/2=0　　　………（ロ)　　
を得ます。

(イ)(ロ)からp,qを求めると
p=s+u/3,q=t+u/3
∴→(OH)＝(s+u/3)*(→(a))+(t+u/3)*(→(b))

（２）点Eを求める
→(DH)=→(OH)－→(OD)
=(s+u/3)*(→(a))+(t+u/3)*(→(b)-(s*(→(a))+t*(→(b))+u*(→(c)))
=u/3*(→(a))+u/3*(→(b))-u*(→(c))
→(OE)=→(OD)+2*(→(DH))
=s*(→(a))+t*(→(b))+u*(→(c))+2*(u/3*(→(a))+u/3*(→(b))-u*(→(c)))
=(s+2u/3)*(→(a))+(t+2u/3)*(→(b))-u*(→(c))
ただし、s+t+u=1

となりました。