数学 重積分

質問

(1) ∫(0→2)∫(y/2→y) e^(x+y) dx dy

(2) ∬√(1-x^2)dx dy D:x^2+y^2≦1 x≧1 y≧1

この2つの問題の解き方を教えて下さい

回答No.1

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(1)
I=∫(y:0→2)∫(x:y/2→y) e^(x+y) dxdy
=∫(y:0→2)e^ydy∫(x:y/2→y) e^x dx
=∫(y:0→2)e^ydy[e^x](x:y/2→y)
=∫(y:0→2)e^y[e^y-e^(y/2)] dy
=∫(y:0→2) [e^(2y)-e^((3/2)y)] dy
=[(1/2)e^(2y)-(2/3)e^((3/2)y)](y:0→2)
=(1/2)(e^4-1)-(2/3)(e^3-1)
=(1/2)e^4 -(2/3)e^3 +(1/6)

(2)
I=∬√(1-x^2)dxdy, D:{(x,y)|x^2+y^2≦1, x≧1, y≧1}
=0 (∵　積分領域が2点のみで領域の面積がないため)

Dが間違っているのでは？
「D:{(x,y)|x^2+y^2≦1, x≧0, y≧0}(第一象限の半径１の１／４円内)」
の間違いでは？

そうなら
I=∬√(1-x^2)dxdy, D:{(x,y)|x^2+y^2≦1, x≧0, y≧0}
=∫[x:0→1] √(1-x^2)dx∫[y:0→√(1-x^2)] dy
=∫[x:0→1] √(1-x^2){[y][y:0→√(1-x^2)]} dx
=∫[x:0→1] (1-x^2) dx
=[x-(1/3)x^3][x:0→1]
=1-(1/3)
=2/3