maximaを使った方程式の解き方

質問

52.85tan(x)+9cos(x)=120 をmaximaで解いたところ
sin(x)= - (180cos(x)^2-2400cos(x))/1057 と表示されました。
x=……と角度で表示されないのでしょうか。
角度を知りたいのですが、どのようにすればよろしいのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

コンピューターを使った「アナログ的解法」ですが、ある程度の精度の近似解でよければ、グラフソフトを使えば一目瞭然です。

cos(x)=X,sin(x)=Y とおくと、52.85tan(x)+9cos(x)=120は
52.85Y/X+9X=120 つまり　52.85Y+9X^2=120X
Y=(-9X^2+120X)/52.85 …（１）と変形できる
またX^2+Y^2=1 …（２）

グラフソフトで（１）の放物線と（２）の円を描かせ、その２交点をA、Bとする。下の図で、角COAと角COBが解である。

すなわち、x=65.56°と　x=246.84°（0≦x≦360°の場合）
または　x=65.56°と　x=-113.16°（-180°≦x≦180°の場合)

お礼

staratras さん、ありがとうございます。
分かりやすいです。

回答No.2

info33

[解法1]
ニュートン法

load (newton1);
f:52.85*tan(x)+9*cos(x)-120;
newton(f,x,1,10^(-10));
newton(f,x,-2,10^(-10));
で, -π ~ π (rad) の範囲の角度が求められます。
x1=1.1441880(rad), x2= -1.97503 (rad).

[解法2]
連立方程式の利用
sin(x)= - (180cos(x)^2-2400cos(x))/1057,
sin(x)^2+cos(x)^2=1
を si=sin(x), co=cos(x) と置換してsolve(...)を使って解くと
2組の実数解は
(co,si)=(X1,Y1)=(0.41378541155476, 0.91037446286065,
(X2,Y2)=(-0.3933178261789, -0.91940256446386) (rad)
-π<x<π で角度xを求めると
x1=atan2(Y1,X1)=1.14418809927 (rad)= 65.5571490(度),
x2=atan2(Y2,X2)= -1.97503382487 (rad)= -113.16110(度).

お礼

info33 さん、ありがとうございます。

回答No.1

f272

maximaの返している解は正しいのだけれど，役に立たないね。
wolframalphaなら実数解として
x≈2 (3.14159 n - 0.987517), n∈Z
x≈2 (3.14159 n + 0.572094), n∈Z
の2つと虚数解を2つを返してくれますよ。
自分で計算するなら
f(x)=52.85*TAN(x)+9*COS(x)-120
f'(x)=52.85/(COS(x))^2-9*SIN(x)
として，適当なxを仮定してx-f(x)/f'(x)を計算し，それを新たなxとしてx-f(x)/f'(x)を計算し，またそれを新たなxとしてx-f(x)/f'(x)を計算し，というのを繰り返せばf(x)=0になるxを見つけることができますよ。エクセルで簡単にできるでしょう。

お礼

f272 さん、ありがとうございます。