線形代数についての質問です

質問

形空間 K³とその部分集合 W ={(a₁,a₂,a₃)│　a₁, a₂, a₃ ∈ K　a₁+ a₂= 0}
が与えられたとき、集合 W が K³の部分空間となることを示せ。
この問題が分かりません…

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

線形空間 K^3⊃W={(a_1,a_2,a_3)|a_1,a_2,a_3∈K　a_1+a_2=0}
(a_1,a_2,a_3)∈W
(b_1,b_2,b_3)∈W
とすると
a_1∈K,b_1∈K→a_1+b_1∈K
a_2∈K,b_2∈K→a_2+b_2∈K
a_3∈K,b_3∈K→a_3+b_3∈K
a_1+a_2=b_1+b_2=0だから
(a_1+b_1)+(a_2+b_2)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)=0+0=0
だから
(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)∈W

r∈K
(a_1,a_2,a_3)∈W
とすると
r∈K,a_1∈K→ra_1∈K
r∈K,a_2∈K→ra_2∈K
r∈K,a_3∈K→ra_3∈K
a_1+a_2=0→ra_1+ra_2=r(a_1+a_2)=r*0=0
だから
(ra_1,ra_2,ra_3)∈W
だから
W は K^3の部分空間となる

お礼

ありがとうございます！