二項係数の和

質問

（ｘ＋１）^(2n) = ∑(ｋ=０～２n)2n_C_k x^k
ですのでｘ=1とすると ∑(ｋ=０～２n)2n_C_k x^k ＝２＾２ｎ
とでるのですが、左辺の和を半分で切った、
∑(ｋ=０～n)2n_C_k x^k
とかは計算できないでしょうか。
ご教授お願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>左辺の和を半分で切った、

∑(ｋ=０～n)2n_C_k x^k　　←これはn+1項和
∑(ｋ=n+1～2n)2n_C_k x^k　←これはn項和
なのでは半分ではありません。

x=1とおくと

S1=∑(ｋ=０～n)2n_C_k
S2=∑(ｋ=n+1～2n)2n_C_k
h=2n-kとおくと h=n-1～0
S2=∑(ｋ=n+1～2n)2n_C_k=∑(h=n-1～0)2n_C_(2n-h)
=∑(h=0～n-1) 2n_C_(2n-h)
=∑(h=0～n-1) 2n_C_h
hを改めてkとおくと
=∑(k=0～n-1) 2n_C_k
=2n_C_n+∑(k=0～n) 2n_C_k
=2n_C_n+S1

S1+S2=2^(2n)なので

2S1+2n_C_n=2^(2n)
∴S1=∑(k=0～n) 2n_C_k={2^(2n)-2n_C_n}/2
となります。

お礼

早速の書き込ありがとうございました。
二項係数には対称性があるのを失念していました。
項数のご指摘ありがとうございます。

では、係数にkがかかった、∑(ｋ=1～２n)k*2n_C_k x^k

はどうでしょうか。実験してみると、(1/2)(n+1)*2n_C_(n+1)になりそうなのですが・・・。