中3 数学 素因数分解

質問

この問題の解説をお願いします。
なぜ、よって、の次の式のかっこの中が(2の三乗×3の二乗)になるんですか？
全体的にあやふやです…詳しい説明をお願いします。
画像見づらくてすみません！

回答No.2

jcpmutura

(1)よりn^2は2^3×3(=24)の倍数だから
n^2=2^3×3×k…(3)
となる自然数kがある
(2)よりn^2は2×3^3(=18)の倍数だから
n^2=2×3^2×j…(4)
となる自然数jがある
(3)と(4)より
2^3×3×k=n^2=2×3^2×j
2^3×3×k=2×3^2×j
両辺を2×3=6で割ると
2^2×k=3×j
↓素因数分解の一意性から
↓右辺が3の倍数だから
↓左辺2^2×kも3の倍数だから
↓kは3の倍数だから
↓k=3mとなる自然数mがあるから
↓k=3mを(3)に代入すると
n^2=2^3×3×(3m)=(2^3×3^2)×m
∴
n^2=(2^3×3^2)×m

お礼

お礼が出来ておらずすみませんでした。
回答ありがとうございました。

回答No.1

marukajiri

では、多少説明や式を書き足しながら順番にやっていきましょう。

24と18をそれぞれ詳しく見てみると、次のような式で書けます。
24=8×3=2^3×3
18=2×9=2×3^2
これで(1)と(2)の式が成り立ちますね。
n^2は、分母に2^3×3および2×3^2が来ており、それが自然数となるということは、n^2というものが2^3×3で割り切れる数であり、さらにn^2は2×3^2でも割り切れる数になります。つまり、n^2は24でも割り切れるし、18でも割り切れるということです。

ということは、n^2は24と18の公倍数であることがわかります。問題文ではn^2の値が24と18の公倍数であれば何でもいいわけではなく、もっとも小さい自然数nの値を求めるように指示されています。

わかりやすく書くと、24と18の公倍数のうちなるべく小さい数字で、その数字を２乗した形のものがわかればいいということです。

ここで、二つの数字において、最小公倍数を求めるにはどうすれば簡単に求められるかというと、それぞれの数字を素因数分解して、乗数の多い方を取っていくことで求められるのです。

例えばAとBという数字があって、素因数分解した場合、次のようになったとします。
A=a^4×b^3×c^2
B=a^2×b×c^3
この場合のAとBの最小公倍数は、それぞれの数字の乗数の多い方を取っていくことで求められ、
AとBの最小公倍数=a^4×b^3×c^3
となります。

これを踏まえた上で24と18の公倍数を求めると
24=8×3=2^3×3
18=2×9=2×3^2
でしたので、二つの数字の最小公倍数は
2^3×3^2
となりますので、計算すると2^3×3^2=72
この最小公倍数の倍数であれば、間違いなく24でも18でも割り切れることはおわかりですね。

そして72の倍数がn^2となればいいので、自然数となるmを使って式を書くと
n^2=72×m
と書けるのです。あとはmの値を1から順番に入れて行き、調べるだけなのです。
そして、mに2を入れると、値が144となって、これは12^2と書き表せますので、条件に適合し、n=12が答えとなるのです。

お礼

お礼が出来ておらずすみませんでした。
回答ありがとうございました。