線形写像についての質問です

質問

線形写像T:V→V´が単車ならdimV=dimT(V)になることを示せ
この問題が分かりません…

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

線形写像T:V→V´を単射とする
n=dimVとする
{e_k}_{k=1→n}をVの基底とする
T(V)∋v'をT(V)の要素とする
v'=T(v)となるv∈Vがあり
v=Σ_{k=1→n}(a_k)(e_k)
となる
(a_k)_{k=1→n}
がある
Tは線形だから
v'=T(v)=Σ_{k=1→n}(a_k)T(e_k)
となる

T(v)=Σ_{k=1→n}(a_k)T(e_k)=0
の時
T(v)=0=T(0)
でTは単射だから
Σ_{k=1→n}(a_k)(e_k)=v=0
(a_k)_{k=1→n}=(0)_{k=1→n}
だから
{T(e_k)}_{k=1→n}は一次独立だから
{T(e_k)}_{k=1→n}はT(V)の基底となるから
dimT(V)=n
dimV=n=dimT(V)
dimV=dimT(V)
になる

お礼

ありがとうございました！助かりました！