線型写像となる必要条件・・・？

質問

「f:V→V'が線型写像である必要条件は、Vのゼロ元の像がfによってV'のゼロ元に移ること」

これって（表現も含め）あってますか？

よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

言葉をきちんとしよう

「AならばB」という命題が真であるときに
AはBであるための「十分条件」
BはAであるための「必要条件」
というのであった．

さて・・細かい条件はざっくり略して
命題A「fは線形写像である」
命題B「f(0)=0」
このとき
「AならばB」は確かに真であり
「BはAであるための必要条件」であるのは問題ない．

問題はこの必要条件・十分条件という「数学用語」が
日常的に使われる意味とはまるで意味が違うこと．

質問者のここ一連の質問をみてると
この必要条件という言葉を日常語の意味で使っている
ようにしか思えない．とくに数学用語の場合には
使い方が決まっていて「XXXであるための必要条件」という言い回しになるのだが
そういう風になっていないことも，この推測を支持しているように思える．

となると・・日常用語としての「必要条件」というのは
しばしば「Aが成り立てばBが成り立つ」というときに「A」のことを指す，
つまり数学でいうところの「十分条件」のような意味をもつこともあるし，
「AとBが成り立つならばCである」というときに
A（またはBのどちらか）を指すこともあるという
あいまいな意味であることを鑑みると，
質問文は
「Vのゼロ元がV'のゼロ元にうつるのであれば
fは線形写像である」
ということの真偽を問うているようにも解釈できる

もしそうであるならば
もっときちんと定義を理解すべきであり
回答としては「NO」である．

反例はそれこそ自明であり
f(x)=x^n (n>1)とか
f(x)=sin(x)
f(x)=a^{x}-1 (a>0, aは1ではない)
f(x)=log(x+1)
なんかが簡単にでてくる

お礼

すみません補足は無視してください
理解できました
ありがとうございました。

補足

ありがとうございます。
追加の質問です。

「命題A「fは線形写像である」
命題B「f(0)=0」
このとき「BはAであるための必要条件」」
と書けば「きちんと」したことになりますか？

また今回私は「数学的」なほうの意味のつもりで必要条件と言う言葉を使ったんですが、過去の質問では「必要条件という言葉を日常語の意味で使っている」というのは具体的にどの質問でしょうか？

すみませんが教えてください。

回答No.1

Tacosan

NO.