線形写像…答えが合いません。。

質問

大学一回生です。線形代数学で質問です。。

線形写像　Ｔ：Ｒ＾2→Ｒ＾2は
T(1,0)=(6,4) , T(1,1)=(1,5)を満たすとして、

ｖ1=〔1〕,ｖ2=〔1〕　に関するTの表現行列Aを求めよ。
　　 〔0〕　 〔1〕

という問題です。分かりにくいですが、ｖ1,ｖ2は２行１列の行列です。

考えた結果…ですが。

T〔1 0〕=〔6 4〕
〔1 1〕 〔1 5〕

T=[6 4][1 0]^-1
[1 5][1 1]

=[ 2 4]
[-4 5]

P=[1 1] P^-1=[1 -1]
[0 1] [0 1]

A=P^-1AP
=答え　　　

というふうに考えたのですが、答えが合いません。。

答えは,　　A=[2 -4]
　　 [4 5] です。

乱述ですが、お願いします!!

回答No.1

mtaka_2007 · ベストアンサー

どのように計算されたのかよくわかりませんが、以下のとおりだと思います。問題は、”標準の基底からV1、V2へ変換した場合の行列を求めよ”ということと思います。
簡単な方法では、(6,4)と(1,5)をV1とV2の基底で表わせば、
(6,4)=2(1,0)+4(1,1)
(1,5)=-4(1,0)+5(1,1)
従って、基底V1とV2での表現行列Bは、
B=[2,-4]
　 [4, 5]と表われます。
変換行列を使いたいのであれば、T(1,0)=(6,4)とT(1,1)=(1,5)から
標準基底での表現行列Aは、
A=[6,-5]
　 [4, 1]と表われます。基底の変換は、
(1,0)=1(1,0)+0(0,1)
(1,1)=1(1,0)+1(0,1)であるので、
Q=[1,1]
　[0,1]
(1,0)=1(1,0)+0(1,1)
(0,1)=-1(1,0)+1(1,1)であるので、
P=[1,-1]
　 [0, 1]
よって、B=PAQとなります。PはQの逆行列となっています。