数学の問題について

質問

ABCは小文字ですが、

2ᴬ=5ᴮ=10ᶜ の時、bc+ca-abの値を求めよ

という問題です。当てはめて解けばいいのでしょうか？
どのように解に導けばいいのか教えてくださると有り難いです。
宜しくお願い致します。

回答No.5

jcpmutura

2^a=5^b=10^c…(1)
↓
2^a=5^b
↓両辺をc乗すると
2^{ca}=5^{bc}…(2)

(1)から
2^a=10^c
↓両辺をb乗すると
2^{ab}=10^{bc}
↓右辺を分解すると
2^{ab}=2^{bc}5^{bc}
↓右辺の5^{bc}に(2)を代入すると
2^{ab}=2^{bc}2^{ca}
↓指数法則から
2^{ab}=2^{bc+ca}
↓指数が等しいから
ab=bc+ca
↓左右を入れ替えると
bc+ca=ab
↓両辺からabを引くと
bc+ca-ab=0

回答No.4

noname#231998

ANo.2の回答者です。
ANo.2では安直過ぎると思い、別解を考えました。

2^a×5^b=(10^c)^2={(2×5)^c}^2=(2^c×5^c)^2=2^2c×5^2c
2と5は互いに素であるから、a=2c、b=2cであり、a=b=2c
よって、bc+ca-ab=2c^2+2c^2-4c^2=0
なお、2^a=2^2c=(2^c)^2=10^c=(2×5)^c=2^c×5^cであるから、2^c=5^c
これからも、a=b=c=0となりますが、0以外のa、b、cは存在するのでしょうか。

回答No.3

staratras

2^a=5^b=10^c 各辺の常用対数をとると

alog2=blog5=c

したがって
a=c/log2,b=c/log5 だから

bc+ca-ab
=c^2/log5+c^2/log2-c^2/(log2×log5)
=(c^2/（log2×log5))×((log2+log5)-1)
=(c^2/（log2×log5))×(log(2×5)-1）
=(c^2/（log2×log5))×0=0

お礼

ご回答の程、誠に有難うございます。
常用対数を用いって計算する方法もあるのですね。
色んな方法で試してみたいと思います。
有難う御座いました。

回答No.2

noname#231998

2は偶数であるから、何回掛け合わせても偶数

5は奇数であるから、何回掛け合わせても奇数
2つの奇数を2m-1、2n-1（mとnは自然数）とすると、
(2m-1)(2n-1)=2×2mn-2(m+n)+1=2{(2mn-(m+n)}+1となって奇数

よって、a=b=0でなければならず、必然的にc=0

以上から、bc+ca-ab=0

お礼

簡潔且つ分かり易くご説明いただき誠に有難うございます。
イコール関係で全て0なのですね。
ご回答の程、大変感謝しております。

回答No.1

f272

2^a=5^b=10^c
の常用対数にすると
alog2=blog5=c
alog2=b(1-log2)=c
したがって
a=b(1-log2)/log2
c=b(1-log2)
だから
bc+ca-ab
=b*b(1-log2)+b(1-log2)*b(1-log2)/log2-b(1-log2)/log2*b
=b*b(1-log2)(1+(1-log2)/log2-1/log2)
=b*b(1-log2)/log2*(log2+(1-log2)-1)
=0

お礼

大変お世話になります。0なんですね！本当に助かります。誠に有難う御座います！