一般相対性理論について質問です。

質問

私は数学を専攻するポスドクです。
これまでは、構成的場の理論の論文を書いてきましたが、量子重力理論の数理物理学へと移行することに決めました。そこで、まずはマクロ系の重力理論の金字塔である一般相対性理論の勉強をしようと、内山龍雄著「一般相対性理論」を読んでいます。この本は、私が学部生のとき、「一般相対性理論」の授業を他学科聴講したときに自分なりにこの本を選び、とても良い本だと思いました。当時はほとんどすべて理解できたのですが、年月が経ったせいか、よくわからないところが出てきました。

この本の15ページに、「たとえば時間とか、２点間の距離という言葉はどのように解釈すべきか考え直さねばならない。そのような問題に対する回答の鍵は等価原理である。すなわち、まず問題になっている世界点Pの近傍に、座標系を適当に設け、それを基準としたとき、少くともPの近傍では重力が消滅するように座標系(X, Y, Z, T)を設ける。このような座標系を今後、点Pにおける局所無重力系とよぶことにしよう。このような好都合な系は等価原理により必ず存在する。」という記述があります。私は等価原理は理解しています。しかし、なぜ等価原理により、局所無重力系が存在すると言えるのか理解できません。

なぜ等価原理により、局所無重力系が存在すると言えるのでしょうか？

回答No.6

noname_deadbeef · ベストアンサー

その本は持っていないのでWikipediaを見ていたのですが、等価原理って複数の定義があるようです。
アインシュタインの等価原理だとすると、たしかに話の順番がおかしいですね。

（宇宙のどこでも、）そこ（世界点P）を通る慣性運動が可能である→よって点Pにおける局所慣性系が存在する→（等価原理を使えるのはここから）

強い等価原理だとすると、なんとか筋道が立つような…

適当に設けた座標系は、局所慣性系（自由落下中）であることもあるし、そうではない（地球の地面に固定された実験室など）場合もある。
（座標系ごとの実験結果の違いは、重力場・電磁場・…の違いで説明ができ、実験室の速度や位置そのものには依存しない）→適当な座標系から見て、点Pでの重力場（なのか慣性力なのかわからないもの）は具体的な値を持つ測定可能なものである（等価原理によりその測定方法が宇宙のどこでも通用することを保証する）→その加速度を打ち消すような新たな座標系（点Pを通るけどその速度は任意、適当に決める）を定義すればそれが点Pの局所慣性系となる（安直には実験室で何かを放り投げて「これが新しいT軸だ！」と言うだけ）→任意の座標系から任意の点Pでの局所慣性系を求めるwell-definedな方法が示された

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E4%BE%A1%E5%8E%9F%E7%90%86

お礼

筋道のわかりやすい説明、ありがとうございました。

回答No.5

oboroxx

No.2です。
局所無重力系を適当な点Pで設けることができるということは、適当な点というのは何の条件もないのでどこの点でもそういう局所無重力系を取れるということなので、等価原理よりそういった好都合な系は存在するということではないのでしょうか。

お礼

等価原理からの演繹になっていないと思うんですけど。
演繹は
「すべての座標系で物理法則は同じ」→「局所無重力系が存在する」
とならなければいけないんですよ。

回答No.4

oboroxx

No.2です。
質問者さんは、全部の力が見える場所からの座標系で考えているのでそう思ってしまうのだと思います。
そうではなくて、局所的座標系でその場所の外側が見えない座標系で考えるとだと思います。
物理でも数学でも、例えば積分を考えたときに、曲線だとX軸と曲線の間の面積を求めるのに、台形を考えておいて幅dxを0に限りなく近づけるとその面積が求められるという、近似値を使うと思うのですが、この場合もそういう考え方であり、また外側がどうなっているかわからないということだと思うのです。
わかりづらくてすみません。

お礼

つまり、エレベーターを無限小の極限まで持っていく、ということですよね。
すると、無限小の極限において局所無重力系を設けることができる、ということですよね。これで、局所無重力系の存在がすることは理解できました。

でも「すべての座標系において区別なく同じ物理法則が成立する」という等価原理から導けていないので、まだ私の疑問は解決されていないのです。

回答No.3

HohoPapa

>自由落下している座標系では、なぜ無重力になるのかわかりません。
>その点を説明していただけませんか？

http://www7b.biglobe.ne.jp/~pasadena/blog1gravity/nongravity.htm
の
>重力が加速度であることに気がついたのはアインシュタインが最初である。
>そして、この重力加速度に抵抗せずに自由落下している物体には何ら力が働いていないばかりか、
>周囲を見ることがなければ自分が加速度運動をしていることすら判らないことも指摘した。
>つまり、自由落下している物体は重力が消えた状態になっている、
>局部的に重力を消去することは可能であることを示しているのだ。(注１）
の記述です。

私的には、重力は空間のゆがみ。
歪みに逆らわないければ、重力を感じる（検出する）ことができない。
という理解です。

これ以上の解説をお望みなら、降ります。
他の識者のコメントをお待ちください。

お礼

残念ながら、回答者様の説明では不十分です。なぜなら局所無重力系の存在を等価原理から、導いていないからです。
また、紹介していただいたURLの説明も間違っています。たとえば、宇宙ステーション内は無重力だと書かれていますが、宇宙ステーションは地球からの重力を受けて楕円軌道を描いて回っているので、宇宙ステーション内は地球からの重力場による時空の歪みがあるのです。したがって、そこは無重力ではないのです。

回答No.2

oboroxx

参考URLより解釈すると、局所的、つまり重力が一定とみなしてよい範囲（重力は距離で変わるので場所で変わる可能性があるので局所的と限定するのです）では、適当な座標系を選ぶと無重力とみなせるので、局所無重力系があると言えるのだと思います。

参考URL：

http://www17.plala.or.jp/utyuu-nazo/toukagenri.html

お礼

宇宙には無数に質量をもった天体があり、重力は遠隔相互作用ですので、本当は宇宙のどこに行っても重力を受けています。よって、真に無重力である座標系は存在しないはずです。したがって、内山先生の記述は誤りであると思いますが、それでも局所無重力系が作れる理由が理解できないのですが。
その点を説明していただけませんか。

回答No.1

HohoPapa

>少くともPの近傍では重力が消滅するように座標系(X, Y, Z, T)を設ける
とありますので、
Pが受けている重力方向（ベクトル）に加速度運動している座標系
（自由落下している座標系）を設ければ、その座標系では、無重力。
ということと思います。

お礼

すみません、自由落下している座標系では、なぜ無重力になるのかわかりません。その点を説明していただけませんか？