円の円周の近似値の求め方

質問

例えば円に内接するn角形があるとして、このnの数を増やしていけば、辺の合計が段々円周に近づいていきますよね
では、その辺の合計はどうやって求められるのですか？n角形のnの値などは、やりやすいように設定してください お願いします

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

直径1の円に内接する正n角形の辺の長さaと、外接する正n角形の辺の長さbは次の式で求められます。
a=n*sin(π/n)
b=n*tan(π/n)

n=6とすると、
a=6*sin(π/6)=3
b=6*tan(π/6)=2√3≒3.4641

n=12の場合は、三角関数の半角の公式、
sin(θ/2)=√((1-cosθ)/2)
cos(θ/2)=√((1+cosθ)/2)
tan(θ/2)=1/sinθ-1/tanθ
を使えば、
a=12*sin(π/12)=12√((1-cos(π/6))/2)=12√((1-√3/2)/2)≒3.1058
b=12*tan(π/12)=12(1/sin(π/6)-1/tan(π/6))=12(2-3/√3)≒3.2154

同じように、nを24,48,96と倍々にしていけば、平方根の計算だけでa,bが求められます。

平方根は筆算でも計算できますから、コンピュータを使わなくても時間と根気さえあればいくらでも精度を高くできます。

お礼

なるほど わかりました
重ねて質問なのですが、
a=n*sin(π/n)
b=n*tan(π/n)
はなぜこうなるのですか？斜辺と垂線の比が三角形の辺になる意味が…

回答No.8

nag0720

＃５です。

＃４の図にはきちんと書いてませんでしたが、∠AEOと∠CFOは直角です。

sin(∠AOE)=AE/OA
tan(∠COF)=CF/OF

お礼

ようやくわかりました
AB=2×AE
ここでsin(∠AOE)=AE/OAよりOA×sin(∠AOE)=AEだから
2×AE=2×OA×sin(∠AOE)
ということですね ありがとうございました

回答No.7

yyssaa

＞半径1の円の正n角形の1辺の中心角は2π/nです。
中心角は円の中心から二つ引っ張らないとないのでは？
＞その通りです。正n角形の1辺の両端と円の中心とを
結んだ２本の線のなす角度が、ここでいう中心角です。

＞sin(π/n)はπ/nに近づき、辺の合計2nsin(π/n)は2n×π/n=2πとなり
なにが起きたのでしょうか？
＞ｎをどんどん大きくしていくと、正n角形の1辺の長さはどんどん短くなるとともに、
辺の合計はどんどん長くなって円周に近づいていきます。その結果、計算上
でｎを無限大にすると、辺の合計イコール円周になるということです。

お礼

辺のはしっこと中心角を繋げたのですね わかりました

sin(π/n)=π/nだから2n×sin(π/n)⇔2n×π/n=2πなんですね ようやくわかりました
ありがとうございました

回答No.6

hugen

http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/pi.pdf

お礼

携帯だと見れません…

回答No.5

nag0720

＞2×AE=2×OA×sin(∠AOE)
＞なぜこうなるんでしょうか

AE=OA×sin(∠AOE)
が理解できない？

お礼

はい、できません

回答No.4

nag0720

＞a=n*sin(π/n)
＞b=n*tan(π/n)
＞はなぜこうなるのですか？

図で説明すると、
円の直径が1、ABは内接n角形の1辺、CDは外接n角形の1辺
OA=OB=OF=1/2
∠AOE=∠COF=∠AOB/2=(2π/n)/2=π/n

AB=2×AE=2×OA×sin(∠AOE)=sin(π/n)
CD=2×CF=2×OF×tan(∠COF)=tan(π/n)

a=AB×n=n×sin(π/n)
b=CD×n=n×tan(π/n)

お礼

＞2×AE=2×OA×sin(∠AOE)
なぜこうなるんでしょうか

回答No.3

yyssaa

単にn角形ではなく正n角形で考えましょう。
半径1の円の正n角形の1辺の中心角は2π/nです。
1辺と半径2本で出来る三角形は二等辺三角形で
あり、辺の中心と円の中心を結ぶと、斜辺が1
の直角三角形が二つ出来ます。中心角が2π/n
ですから、その半分のπ/nのsinが辺の1/2に
なるので、1辺の長さは2sin(π/n)になります。
正n角形ですから辺の合計は2nsin(π/n)です。
余談ですが、sinθでθをどんどん小さくして
いくとsinθはどんどんθに近づきます。
従って、この質問のnをどんどん増やしていくと
sin(π/n)はπ/nに近づき、辺の合計2nsin(π/n)
は2n×π/n=2πとなり、半径1の円の円周に
なります。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます ただ私が馬鹿なので理解し難いところがあります…

＞半径1の円の正n角形の1辺の中心角は2π/nです。
中心角は円の中心から二つ引っ張らないとないのでは？

＞sin(π/n)はπ/nに近づき、辺の合計2nsin(π/n)は2n×π/n=2πとなり
なにが起きたのでしょうか？

回答No.1

Willyt

円の長さは内接する正多角形の辺の総和と外接する正多角形の総和との間にありますから、これを使えば円周率を早く収束させることができます。辺の長さは三角形を最初にして倍々に増やしていくと計算がしやすいですよね。内外接する三角形の辺の長さは簡単に計算できます。次に倍の多角形を作ると元の多角形を底辺とする二等辺三角形の等辺が二倍の多角形の辺の長さとなり、これは頂角が簡単に計算できますから第二余弦定理ですぐに計算できますね。但し、これはコサインがじゅうぶんな精度で求めることができるということが前提になっています。

お礼

すみません…分かりやすくお願いします…
元の多角形を底辺とする二等辺三角形って多角形を底辺にしたら多角錘か多角柱になるのでは…