無限積Π（n=1～∞）（1-1/2n）の値の求め方を教えて下さい。

質問

無限積Π（n=1～∞）（1-1/2n）の値の求め方を教えて下さい。

無限積でn=1から∞までのΠ（1-1/2n）の値の求め方がさっぱりわかりません。
この問題の解き方と答えを教えて下さい。

回答No.5

uzumakipan · ベストアンサー

誤った回答をしたため、きちんと調べました。

実数ｘに対して

1+x≦e^x

が成り立つから（微分せよ）

1-1/k≦e^{-1/k}

k=2,4,6…　と辺々をかけると

０≦(1-1/2)(1-1/4)…(1-1/2n)≦e^{-1/2(1+1/2+…1/n)}　…(ア)　　

（ア）において　n→∞　とすると 右辺→０　となるから　Π（n=1～∞）（1-1/2n）は０に発散する。

補足

わざわざすいません…。
ありがとうございます。

ここで言っているxは-1/kであり、k=2nと考えていいと言う事ですか？

回答No.6

uzumakipan

こんばんは。

＞ここで言っているxは-1/kであり、k=2nと考えていいと言う事ですか？

はい、そうです。ちなみに無限積の場合、極限値が０になる場合『０に発散する』といいます。

お礼

ありがとうございました。
やっと納得ができました！

スッキリしましたぁ～
感謝です！

回答No.4

uzumakipan

＃２です。計算ミスがありましたね。＃２と＃３の回答は取り消します。

修正したら示せそうなのですけどね…。もう少し考えてみます。
正答は無限大に発散することは変わらないでしょう。

回答No.3

uzumakipan

こんばんは。

＞すいませんが…
＞＝(1・3・5…2n-1)/(2・4・6…2n)
＞＝(1・2・3…2n-1・2n)/(2^2・4^2・6^2…(2n)^2)
＞になった経緯がよくわからないのですが…？

(1・3・5…2n-1)/(2・4・6…2n)　
分子は奇数の積、分母は偶数の積。階乗にするために奇数の間に偶数を挿入すると…。
実際に紙に書いて、計算してみてください。

お礼

理解できました！
分子に偶数の2nをかけるから分母にも偶数をかけて、全てが２乗になるわけですね！
とても参考になりました！
ありがとうございます。

回答No.2

uzumakipan

こんばんは。答えを直接教えるのは禁止事項なので、考え方だけ。

無限回かけ算することはできないのでｎ個かけて、その結果を∞に飛ばすことを考えます。

(1-1/2)(1-1/4)…(1-1/2n)
＝1/2・3/4…(2n-1)/2n
＝(1・3・5…2n-1)/(2・4・6…2n)
＝(1・2・3…2n-1・2n)/(2^2・4^2・6^2…(2n)^2)
＝(2n)!/{2^2・(n!)^2}
＝(n+1・n+2…2n)/(4・n!)
＝1/4・n+1/1・n+2/2…2n/n　…（ア）

となります。（ア）でn→∞とするとどうなりますか？

※計算間違いしていたらゴメンナサイ。

補足

回答ありがとうございます。
すいませんが…
＝(1・3・5…2n-1)/(2・4・6…2n)
＝(1・2・3…2n-1・2n)/(2^2・4^2・6^2…(2n)^2)
になった経緯がよくわからないのですが…？
分母分子に2nをかけたと考えるのですか？

回答No.1

Tacosan

無限積の収束判定にかければ「収束するかどうか」はわかる. 今の場合は 0 に発散するはず.