重積分で１を積分すること

質問

多変巣の微分積で、ｘｙ平面の領域Dの上で、１を積分すると面積になる、と教科書に書いていますが、領域Dをｚ軸方向に高さ１の柱状の物体の体積になのでなんかおかしいような気がします。
実社会だったら体積（m3）か面積（m2）かは大きな違いだし、物理や理科だったら誤りだと思うのですが・・・・。
ここはどう理解したらいいでしょうか。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

教科書に正確にどんな書き方がなされているのかよくわからないが，数値が同じになるという意味に理解すればおかしなところはなくなる。

お礼

数字があってるだけで次元は違うってことですよね。
なんか厳密性に欠ける気もしますが・・・。納得するしかなさそうです。

回答No.2

gamma1854

たとえば次の「円柱」の体積を計算してみます。
D={(x, y)| x^2+y^2≦a^2, a>0} とし、この領域で定数関数z=k (k>0) を積分すると、
I=∫∫[D] kdxdy
=∫[0~2pi]{∫[0~a]k*rdr}dφ
=pi*a^2*k.
となり、a(cm), k(cm) として、次元がきちんと「３」すなわち cm^3 となりますよ。

お礼

次元は３なのに２だ、というのがおかしいと思ったのでお尋ねでした。