判別式についての問題です。

質問

(b－c)x^2＋(c－a)x＋(a－b)=0が重解をもてば、b=a＋c／2となることを示せ。
という問題で、ヒントとして、 a＋c－2b=0を示せばよい とあったんですが、それでも、解き方がわかりません。 教えて下さい。

回答No.1

noname#231363 · ベストアンサー

判別式D
=(c-a)^2-4(b-c)(a-b)
=c^2-2ca+a^2-4(ab-b^2-ca+bc)
=(a^2+2ca+c^2)-4b(a+c)+4b^2
=(a+c)^2-4b(a+c)+(-2b)^2
=(a+c-2b)^2
与式が重解をもつので、D=0
よって、a+c-2b=0であるから、b=(a+c)/2

お礼

お答えいただき、ありがとうございました！！

回答No.2

noname#231363

ANo.1の回答者です。
ANo.1をベストアンサーに選んで頂き、有り難うございました。
さて、この質問のタイトルには『判別式』とありますが、試験の際には解法が指定されることはまずありませんので、ここではQNo.9476861のタイトルにある『解と係数の関係』で考えてみます。（参考になればと思い、追加回答致します。）

重解をαとすると、『解と係数の関係』から（b-c≠0）、
2α=-(c-a)/(b-c)－①
α^2=(a-b)/(b-c)－②
式①の両辺を2乗すると、
4α^2=(c-a)^2/(b-c)^2
これに式②を代入すると、
4(a-b)/(b-c)=(c-a)^2/(b-c)^2
(c-a)^2-4(b-c)(a-b)=0－③
これは、ANo.1において、判別式D=0としたのと同じことです。

この後は、式③の左辺を、ANo.1とは異なる着想で因数分解してみます。
式③の左辺を展開し、aについての2次式であると考えて、次のように整理します。
a^2+2(c-2b)a+(c-2b)^2={a+(c-2b)}^2=(a+c-2b)^2=0
よって、a+c-2b=0であるから、b=(a+c)/2

※種々の解法を試してみるといいと思います。

お礼

丁寧に解説くださってありがとうございます！！

お礼がきちんとできてなくてごめんなさい。

時間をさいてくださって有難うございます！