この数学の問題のヒントまたは答えを教えてください。

質問

x,yは実数とする。x2-2xy+3y2-8y+11 x=Ａ　y=Ｂのとき、最小値Ｃをとる。

この問題の解き方がわからないので、なにか、ヒントでもいいので、教えていただけませんか？
お願いします。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

ANo.2 です。間違いがありました。
【誤】　そのとき、 ( x - y )^2 + 2*( y - 4 )^2 = 0 なので、式(1)の最小値は 3 です。
【正】　そのとき、 ( x - y )^2 + 2*( y - 2 )^2 = 0 なので、式(1)の最小値は 3 です。

お礼

ありがとうございました。
おかげですっきりです。

補足

回答までありがとうございます。
こういうような式の平方完成って何かコツってあるんでしょうか?
よろしければおねがいします。

回答No.4

owata-www

＞こういうような式の平方完成って何かコツってあるんでしょうか?
今回のように２つの変数がある時のコツは、とりあえず片方の変数を平方完成でまとめることです。

x^2-2xy+3y^2-8y+11ですが、これをみればyの方は--2xy、8yの項があるためにまとめるのが大変そうだと考えられます（出来なくはないですが）

というわけでxでまとめます
x^2-2xy+3y^2-8y+11=(x-y)^2+2y^2-8y+11
今度は2y^2-8y+11を平方完成すればいいわけです

以上参考になりましたら

お礼

なるほど、わかりました。
ありがとうございました。

回答No.2

inara1

問題の式は
　　　x^2 - 2*x*y + 3*y^2 - 8*y + 11 = ( x - y )^2 + 2*( y - 2 )^2 + 3 --- (1)
と変形できます。

x と y が実数なら、( x - y )^2 ≧ 0、 ( y - 4 )^2 ≧ 0 なので、x と y の値が何であっても、式(1)の右辺の ( x- y )^2 + 2*( y- 4 )^2 ≧ 0 になります。したがって、式(1)が最低となるのは ( x- y )^2 + 2*( y - 2 )^2 = 0 となる場合です。そうなるのは x - y = 0 かつ y - 2 = 0 の場合です。そのとき、 ( x - y )^2 + 2*( y - 4 )^2 = 0 なので、式(1)の最小値は 3 です。

回答No.1

mister_moonlight

ヒント。

xについて、平方完成する。

又は、x2-2xy+3y2-8y+11 ＝kとして、xの2次方程式と見て、判別式≧0.
yの2次不等式になるが、これが実数解を持つから判別式≧0.

お礼

ヒントありがとうございました。
二つ目の方法はちょっと分からなかったですけど(汗