３次方程式の問題

質問

以下の問題の解き方を教えて下さい

四訂版クリアー数学演習Ⅰ・Ⅱ・A・B

４０．
３次方程式
x³+(2a²-1)x²-(5a²-4a)x+3a²-4a=0
(aは実数)が実数の２重解をもつとき、aの値を求めよ。

回答No.6

kiha181-tubasa · ベストアンサー

まず，因数定理を使って因数分解します。文字が入ってちょっと複雑ですが，１次式と２次式に因数分解されますね。
　一般論として説明するために，モデルとして次の形を使います。

因数分解して
(x-α)(x^2+px+q)=0
という形になったとしましょう。

（２次式がさらに２つの１次式に分解されると，極めて優しい問題になってしまうので，そのような問題は出題されないでしょう）

「２重解持つ」ということは，次の現象が起こることです。
（１）２次方程式 x^2+px+q=0 が，αでない重解を持つ。
　　　　　　（この重解がαだったら，三重解になってしまいますね）
　　判別式の重解条件と，αが解でないという条件の両方を満たすaを求めます。

（２）２次方程式 x^2+px+q=0 が，重解を持たないが，αを解に持つ。

この（１）または（２）を満たすaを求めればそれが求めるものです。

回答No.7

staratras

愚直に３次方程式を解く解法。

f(x)=x³+(2a²-1)x²-(5a²-4a)x+3a²-4aとおく
f(1)=0 よりf(x)は(x−1)で割り切れ
f(x)=(x-1)｛x²+2a²x-(3a²-4a)}　と因数分解できる
右辺の｛｝内を０と置いた　x²+2a²x-(3a²-4a)=０　を解くと
x=-a²±√(a(a³+3a-4)) だから
f(x)=0 とした３次方程式の3つの解は
x=1,x=-a²±√(a(a³+3a-4)) である
x=-a²-√(a(a³+3a-4))≦0　であることを考慮すれば
この3次方程式が2重解を持つのは
-a²+√(a(a³+3a-4))=1 の場合か
-a²+√(a(a³+3a-4))=-a²-√(a(a³+3a-4))≠１の場合

１）-a²+√(a(a³+3a-4))=1　のとき
√(a(a³+3a-4))=a²+1 平方して整理すれば　a²-4a-1=0 a=2±√５

２）-a²+√(a(a³+3a-4))=-a²-√(a(a³+3a-4))≠１のとき
-a²+√(a(a³+3a-4))=-a²-√(a(a³+3a-4))となるのは√内が０になるとき
√内はa(a-1)(a²+a+4)=a(a-1)((a+1/2)²+11/4)だから　a=0,a=1
a=0のとき　-a²+√(a(a³+3a-4))=-a²-√(a(a³+3a-4))=0≠１
a=1のとき　-a²+√(a(a³+3a-4))=-a²-√(a(a³+3a-4))=-１≠１
　いずれも題意を満たす
答え　a=2±√５,a=0,a=1,

回答No.5

gamma1854

まず、x=1 をみつけてください。その後、
(与式) ⇔ (x - 1)(x^2 + 2a^2*x -3a^2+4a)=0.
から、
1) x=1 が x^2 + 2a^2*x -3a^2+4a=0 の単解.
2) x^2 + 2a^2*x -3a^2+4a=0 が x≠1 なる重解をもつ。
を考えてください。

回答No.4

asuncion

ありゃ

回答No.3

asuncion

実験することをご容赦ください。
x³ + (2a² - 1)x²

回答No.2

asuncion

復活したので続けます。
ⅱ）α = 1のとき
③より3a^2 - 4a = -β
①より2a^2 - 1 = -2 - β = -2 + 3a^2 - 4a
a^2 - 4a - 1 = 0
(a - 2)^2 = 5
a = 2 ± √5
このとき、x = 1という2重解を持ち、条件をみたす。
∴a = 0, 1, 2 ± √5

回答No.1

asuncion

実数の2重解をα、他の実数解をβとすると、
左辺は(x - α)^2・(x - β)のように因数分解できる。
これを展開すると、
(x^2 - 2αx + α^2)(x - β)
= x^3 - βx^2 - 2αx^2 + 2αβx + α^2・x - α^2・β
= x^3 + (-2α - β)x^2 - (-α^2 - 2αβ)x - α^2・β
元の方程式と係数比較して、
2a^2 - 1 = -2α - β ... ①
5a^2 - 4a = -α^2 - 2αβ ... ②
3a^2 - 4a = -α^2・β ... ③
②-③より、2a^2 = -α^2 - 2αβ + α^2・β = (β - 1)α^2 - 2αβ
①に代入して
(β - 1)α^2 - 2αβ - 1 = -2α - β
(β - 1)α^2 - 2(β - 1)α + β - 1 = 0
(β - 1)(α^2 - 2α + 1) = 0
(β - 1)(α - 1)^2 = 0
∴β = 1またはα = 1
ⅰ)β = 1のとき
①に代入して、2a^2 - 1 = -2α - 1, a^2 = -α, a^4 = α^2
③に代入して、3a^2 - 4a = -a^4, a^4 + 3a^2 - 4a = 0
a(a - 1)(a^2 + a + 4) = 0
a^2 + a + 4 = 0は実数解なし
∴a = 0またはa = 1
ⅰ-1）a = 0のとき
与式はx^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0よりx = 0という実数の2重解を持ち、条件をみたす。
ⅰ-2）a = 1のとき
与式はx^3 + x^2 - x - 1 = x^2(x + 1) - (x + 1) = (x + 1)(x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)^2 = 0よりx = -1という実数の2重解を持ち、条件をみたす。
ⅱ）α = 1のとき
疲れたので自分でやってみてください。