一次独立かどうかを判定する問題について。

質問

次の各ベクトル系はＲ２（この２は二乗という意味です。）で一次独立かどうかを判定せよ。｛（１、３）（２、－３）｝
という教科書の問題がわかりません。例題もないし他の問題集や参考書も類題を探したのですがみつかりませんでした。
教科書の流れからいって「２個の元からなる系が一次独立であるための必要十分条件はどちらの元も他の元のスカラー倍にならないことである。」というのを使うんだと思いますがどうやって使えばいいのかわかりません。それとも別の定理かなにかを使うのでしょうか？？

回答No.1

adinat · ベストアンサー

その定義でもよいのですが、実際に計算するときは
次の形で一次独立を定義するほうが有用です。

a(1,3)+b(2,-3)=(0,0)
ならば
a=b=0

これはようするに(1,3)というベクトルをa倍して、
(2,-3)というベクトルをb倍して、それらを足すと
0になるのであれば、aもbも0でなければならない、
ということです。

aとbがともに0ならa(1,3)+b(2,-3)=(0,0)となるのは
直感的にも明らかですが、これが(0,0)になるからといって
一概にa=b=0とは言えません。
たとえばa(1,-1)+b(-1,1)=(0,0)は
たとえばa=1,b=-1などが解になるからです。

なお二つのベクトルが一次独立かどうかをみるだけならば、
最初にfutuさんがおっしゃった方法でも確かに判別できます。

(1,3)を何倍かして、(2,-3)にすることは絶対に無理ですから。
たとえば第一成分をみると二倍しなくてはいけませんが、
それでは第二成分が6になってしまって一致しませんから。

お礼

大変お礼が遅れてしまいました！ごめんなさい。ありがとうございました！！

回答No.3

tomtak

一般に、ｎ個のベクトル{v1、v2、…、vn}がＲ^nで一次独立ならば、
これらを縦に並べた行列の行列式
det｜v1　v2　…　vn｜
は、0でない値を持ちます。
逆に、det｜v1　v2　…　vn｜≠０ならば、
{v1、v2、…、vn}は一次独立です。

今の問題の場合、
　　｜１　　２｜
det｜　　　　｜＝－３＊１－３＊２＝－９≠０
　　｜３　－３｜
となるので、
ベクトル（１、３）と（２、－３）は一次独立です。

お礼

大変お礼が遅れてしまってごめんなさい！せっかくこんなに丁寧に答えてくださったのに申し訳ないです。ありがとうございました。おかげさまで助かりました。

回答No.2

track

（注：「Vec(a)」は「ベクトルa」の事を指します。→aとも書きます。）

R^3においての定義は以下の通り。
Vec(a),Vec(b),Vec(c)が一次独立であるというのは、
「Vec(a),Vec(b),Vec(c)はどれもVec(0)でなく、同一平面上にない。」
⇔「α*Vec(a)+β*Vec(b)+γ*Vec(c)=Vec(0)と書けるのは、α=β=γ=0のときに限る（α、β、γは実数）。」
ということです。
これを使った方がいいと思います。
R^2ではγ、Vec(c)がないと考えます。

R^2において、それを解くと…

(1,3),(2,-3)において
まず、α*Vec(a)+β*Vec(b)=Vec(0)と置きます。
これを成分で書くと、

1*α+2*β=0…(1)　←x成分を代入
3*α-3*β=0…(2)　←y成分を代入

これを解くとα=β=0となり、一次独立であるといえますね。

「2個の元からなる系が一次独立であるための必要十分条件はどちらの元も他の元のスカラー倍にならないことである。」
…というのは例えば、
4*α+4*β=0
2*α+2*β=0
というふうになる時のことでしょう。

お礼

大変お礼が遅れてしまいました。ごめんなさい！おかげさまで参考になりました。