実数値行列関数とは一体なに?
詳しい方よろしくお願い致します。
某書籍にreal valued matrix functionについて
Let f be a differentiable real valued matrix function on M_n^{s,+}.
Define the gradient of the function f, with respect to a matrix A=(a_ij)∈M_n^{s,+},
as ∂f/∂A:=(∂f(A)/∂a_ij).
(但し,M_n^{s,+}はn×nのpositive definite symmetric matriciesの集合)
と定義されてたのですがいまいちよく分かりせん。
M_n^{s,+}の元は実行列でfはM_n^{s,+}からRへの写像なのでしょうか?
それともM_n^{s,+}からM_n^{s,+}への写像なのでしょうか?
写像fの定義域と値域が何なのかはっきりしません。
どうやらAは変数の役割をしているようなので
Let f be a differentiable real valued matrix function on M_n^{s,+}.
Define the gradient of the function f, with respect to a matrix X=(x_ij)∈M_n^{s,+},
as ∂f/∂X:=(∂f(X)/∂x_ij).
と変数らしくXとx_ijで書き改めてみました。
それでもってX∈{(x_ij)∈M_n^{s,+};x_ijは実変数}なので
gradient (∂f(X)/∂x_ij)は何を意味するかというと,
もし,f(X)の値域がRなら行列(∂f(X)/∂x_ij)はn×n行列で
f(X)の値域がM_n^{s,+}なら,行列(∂f(X)/∂x_ij)はn^2×n^2行列になるのでしょうか?
お礼
有難う御座いました。