確率？行列？

質問

英文で申し訳なんですが、次の点について教えて下さい。
P(dt)=I＋Adt
For an arbitrary time interval t, the function P(t) satisfies the Chapman-Kolmogorov equation
P(t＋dt)=P(t)P(dt)=P(t)(I＋Adt)....(1)
This equation is a mathematical manifestation of the Markovian nature of the process. Therefore, We get
dP(t)/dt=P(t)A....(2)
Scince P(0)=I, We have
P(t)=e^tA.....(3)
P(dt)は4×4行列，IはP(t)の対角行列

今回、教えて頂きたいのは何で(1)の式が(2)の式に、そして、(2)の式が(3)の式になるかです。

回答No.2

hogehogeninja

e^Xは、
e^X = I + 1/1!*X^1 + 1/2!*X^2 + 1/3!*X^3 + ...
で定義されている記号です。(Iは単位行列）

e^Atは
e^At=I + 1/1!*A*t + 1/2!*A^2*t^2 + ...
これをtで微分し、定義に当てはめてe^Xの形式に直すと
d(e^At)/dt = A(e^At)
が確かめられます。

回答No.1

sato_ryu

まず式(１)から式(２)を導くまでについてですが，
これは微分の定義に従うことで導くことができます．
まず，微分の定義を考えると
dP(t)/dt = lim Δt→0 {P(t+Δt) - P(t)} / Δt
この定義式の中のP(t+Δt)を，式(１)の右辺に置き換えます．
すると，
dP(t)/dt = lim Δt→0 {P(t)(I + AΔt) - P(t)} / Δt
となります．また，P(t) = I*P(t)なので以上より
dP(t)/dt = lim Δt→0 {P(t)(I + AΔt) - P(t)*I} / Δt
= P(t)A
が得られます．

次に式(２)から式(３)についてです．
これは，微分方程式を解くことになります．式(２)が微分方程式です．
まず，式(２)を以下のように変形します．
dP(t)/P(t) = A*dt
次にこれを不定積分します．
∫dP(t)/P(t) = ∫A*dt
log P(t) = tA + C (C：積分定数)
logの底はeなので，
P(t) = e^(tA + C)
ここで，C' = e^Cと置けば，
P(t) = C'* e^tA
です．また，初期条件としてP(0)=Iとなっているので，
P(0) = C' * e^0
= C'
よって，C'=Iとなります．
以上より，
P(t) = e^tA
が得られます．

と以上だと思うのですがどうでしょうか？