三人姉妹が 唾をつける 泣く姉妹が居ない よう

質問

y=-x^4 + 2*x^2 と y=k で囲まれる部分が3つ在り,それらの面積が等しくなる
　k を 導出法を明記し　求めて下さい; (【四苦八苦】が大Hint と少女A)

回答No.2

staratras

4次方程式の解と係数の関係を使えば計算が楽になります。
下の図のように、y=-x^4+2x^2のグラフはy軸に対称だから、題意を満たすようなy=kとの交点のx座標、すなわち4次方程式-4x^4+2x^2-k=0 …（１）の4つの異なる解を-α,-β,+β,+αとおけます。（0<β<α）

ここで、3つの部分の面積を図のようにS1,S2,S3とするとS1=S2=S3だから
[-β→+α]∫(k-(-x^4+2x^2))dx=k(α+β)+1/5(α^5+β^5)-2/3(α^3+β^3)=0
上の式をα+β（≠0）で割ると
k+1/5(α^4-α^3β+α^2β^2-αβ^3+β4)-2/3(α^2-αβ+β^2)=0
k+1/5{(α^2+β^2)^2-2α^2β^2-αβ(α^2+β^2)+α^2β^2}-2/3(α^2+β^2-αβ)=0

ここで方程式（１）の解と係数の関係から　α^2+β^2=2、α^2β^2=k　(αβ=√k）
これらを上式に代入して整理すると　4/5k+4/15√k-8/15=0
3k+√k-2=0　　(3√k-2)(√k+1)=0 √k>0 より　√k=2/3 したがってk=4/9

回答No.1

info222_

y=f(x)= -x^4 + 2*x^2 ... (1)
y=k ... (2)
f(x) の極大値f(1)=f(-1)=1, f(x) の極小値 f(0)=0 なので
>y=-x^4 + 2*x^2 と y=k で囲まれる部分が3つ在り,
0<k<1 ( 必要条件 ) ... (3)
(3)のもとで(1),(2)の 4個の交点 (-b,k), (-a,k), (a,k), (b,k) を求める 。
0<a<1<b<sqrt(2) ...(4)
-x^4+2x^2=k
x^4 -2x^2+k=0
x^2=1±sqrt(1-k).
x= -sqrt(1+sqrt(1-k)), -sqrt(1-sqrt(1-k)), sqrt(1-sqrt(1-sqrt(1-k)), sqrt(1+sqrt(1-k))
0<a<1<b<sqrt(2)
a=sqrt(1-sqrt(1-sqrt(1-k)), b=sqrt(1+sqrt(1-k))

>y=-x^4 + 2*x^2 と y=k で囲まれる部分が3つ在り,それらの面積が等しくなる
y軸対称ゆえ, 左側(-b<=x<= -a) と右側 ( a<=x<=b) の部分の面積は, 等しく
S1=∫ [-b, -a] (-x^4+2x^2 -k) dx=∫ [a, b] (-x^4+2x^2 -k) dx
=[-x^5/5+2x^3/3 -kx] [sqrt(1-sqrt(1-k)), sqrt(1+sqrt(1-k))]
= -(4*(3sqrt(1+sqrt(1-k))*k-3sqrt(1-sqrt(1-k))*k-sqrt(1+sqrt(1-k))*sqrt(1-k)
-sqrt(1-sqrt(1-k))*sqrt(1-k) -sqrt(1+sqrt(1-k))+sqrt(1-sqrt(1-k))))/15
中央 ( -a<=x<=a) の部分の面積は,
S2= ∫ [-a, a] (k-(-x^4+2x^2)) dx= 2 ∫ [0, a] (k+x^4 -2x^2)) dx
=2 [kx+x^5/5 -2x^3/3] [0, sqrt(1-sqrt(1-k)]
=8sqrt(1-sqrt(1-k))*(3*k+sqrt(1-k)-1))/15
15(S1-S2)/4=0より
sqrt(1+sqrt(1-k))*(1+sqrt(1-k)-3k)+sqrt(1-sqrt(1-k))*(1-sqrt(1-k)-3k)=0
sqrt(1-sqrt(1-k))*(1-sqrt(1-k)-3k)をかけると
sqrt(k){(1-3k)^2-(1-k)}+(1-sqrt(1-k))*(1-sqrt(1-k)-3k)=0
sqrt(k){(1-3k)^2-(1-k)}-sqrt(1-k)*(1-sqrt(1-k)-3k)= -(1-sqrt(1-k)-3k)
両辺二乗してから移項する
-2*sqrt(1-k)*(k-1)*k^(3/2)*(9*k-5)*(9*k-4)=0
0<k<1より
(9*k-5)*(9*k-4)=0
k=5/9, 4/9
k=5/9とすると S1≠S2
k=4/9とすると
a=sqrt(1-sqrt(5)/3), b=sqrt(1+sqrt(5)/3)
S1=S2=(16*sqrt(6))/135
(Ans.) k=4/9