ラグランジェの未定係数を使ってX^2+Y^2+Z＾2＝１ XYZの最大

質問

ラグランジェの未定係数を使ってX^2+Y^2+Z＾2＝１　XYZの最大値は？ただし０<X<１　０<Y<１　０<Z<１である　　さっぱり分からなくて四苦八苦しています。皆様の知恵をお貸し頂けないでしょうか？

回答No.2

sk3819 · ベストアンサー

下記に参考URLを添付します。

問題では、
f(x)=xyz
g(x)=x^2+y^2+z^2
として解けばよいのではないでしょうか？

参考URL：

http://moondial0.net/archives//www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/lagrangeUndetermin/index.html

お礼

ご親切にありがとうございます
がんばってみます！

回答No.1

spring135

目的関数Fをラグランジェの未定係数pを使って表わすと　　即ちx^2+y^2+z＾2＝1

F=xyz+p(x^2+y^2+z＾2-1)

極値は

δF/δx=0　　(1)
δF/δy=0　　(2)
δF/δz=0　　(3)
δF/δp=0 　 (4)
を満たす。

(1)～(3)より
yz+px=0 (5)
zx+py=0　(6)
xy+pz=0　(7)

(5)にx,(6)にy,(7)にｚ
を掛けて
xyzを作ると
2px^2=2py^2=2pz^2=-xyz
し０<X<１　０<Y<１　０<Z<１
より
x=y=z (8)
とすると
(4)より

x=y=z=√3/3

この時
F=√3/9

図を描いて考えれば解るように
これは０<X<１　０<Y<１　０<Z<１において最大値である。

お礼

大変分かりやすく教えていただきありがとうございます！
いろいろな問題にも挑戦したいとおもいます。