逆演算子を用いた微分方程式

質問

何度計算しても答えが合いません。
答えは(1/4)* exp(3x) * sin2xです。

問題は写真を参照してください。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

D^2-4D+10
が間違っています
{1/(D^2-4D+7)}e^{3x}cos(2x)≠e^{3x}{1/(D^2-4D+10)}cos(2x)

f(D)=1/(D^2-4D+7)
とした時
f(D)[e^{3x}cos(2x)]=e^{3x}f(D+3)cos(2x)
が成り立ち
f(D)=1/(D^2-4D+7)=1/{(D-2)^2+3}
なので
f(D+3)
=1/{(D+3-2)^2+3}
=1/{(D+1)^2+3}
=1/(D^2+2D+4)≠1/(D^2-4D+10)

{1/(D^2-4D+7)}e^{3x}cos(2x)
=[1/{(D-2)^2+3}]e^{3x}cos(2x)
=e^{3x}[1/{(D+3-2)^2+3}]cos(2x)
=e^{3x}[1/{(D+1)^2+3}]cos(2x)
=e^{3x}{1/(D^2+2D+4)}cos(2x)
ここで
{1/(D^2+2D+4)}e^{2ix}
=[1/{(2i)^2+2(2i)+4}]e^{2ix}
={1/(-4+4i+4)}e^{2ix}
={1/(4i)}e^{2ix}
=(-i/4)e^{2ix}
=(-i/4){cos(2x)+isin(2x)}
=(1/4)sin(2x)-(i/4)cos(2x)

よって
(1/4)e^{3x}sin(2x)

お礼

初歩的な勘違いをしていたみたいです。
気づかせていただいて、ありがとうございました。