波動関数の一階微分の連続性

質問

初めまして。
とある波動関数の問題を解いていた際に行き詰ってしまい、いくら調べても良く分からなかったので質問をさせて頂きました。
次のようなシュレディンガー方程式
d^2ψ/dx^2 + (2m/h^2)[E - V(x)]ψ(x) = 0が与えられたとき両辺をa-εからa+εまで積分するとき、波動関数の一階微分dψ/dxが連続であることを示せという問題です。
ここでV(x)は連続であると仮定します。
一応回答はあるのですが、次のような記述がありました。
「V(x)は連続であるから、lim(ε→0) V(a±ε) = V(a)である。ψ(x)が連続であることは既知なので、
『lim(ε→0) (2m/h^2)∫(a-εからa+εまで積分)[V(x)‐E]ψ(x)dx = (2m/h^2)[V(a) - E]ψ(a)lim(ε→0)∫(a-εからa+εまで積分)dx = 0 』」
となっていました。この『』の部分の式変形が意味不明です。なぜx = aを代入した形で積分の前に)[V(a) - E]ψ(a)が出てきているのかがさっぱりわかりません。どなたか助けてください!お願いします。
を

回答No.2

YHU00444

ANo.1の積分範囲は[a-δ,a+δ]の間違いです（失礼しました）。

で、ANo.1は式変形の意図（ココロ）を示すことが目的でしたので適当に済ませましたが、本来の目的はψ'(x)の連続性なので、これがε-δの形で表せること示す必要はあります。
具体的には、ψの2階微分の積分を実行してψ'(a+δ)-ψ'(a-δ)より、|x-a|<δに対応するε（|ψ'(x)-ψ'(a)|<ε）が存在することを『』の部分の式を適当に計算して出してやればOKでしょう。
※ε-δ論法の強みは、条件を満たすεとδの組み合わせさえあれば、ε→0を一々持ち出さなくても良くなることです。

もっとも、物理としては結果が分かればそれで良いので、あまり細部に拘泥しなくても十分ではあります。

お礼

どうもありがとうございました!とても丁寧な回答で分かりやすかったです!やはり物理では数学と違い式変形に厳密性は求めていないのですかね。本当にありがとうございました。

回答No.1

YHU00444

何だかいかにも物理屋の数式展開だなぁ、と笑ってしまいますが、
仰るとおりこれはかなりイーカゲンな式なので、イプシロン－デルタに則って説明し直すことにします。

まず、f(x)がx=aで連続であるというのは、ε-δ論法では、任意のε>0に対して、|x-a|<δ→|f(x)-f(a)|<εとなるδ>0が存在するという言葉で表されます。
よってこの条件から、f(x)の微小区間での積分については次の関係が成り立つことが示せます。
∫[x-δ,x+δ]{f(a)-ε}dx<∫[x-δ,x+δ]f(x)dx<∫[x-δ,x+δ]{f(a)+ε}dx
ここで左右の式のカッコ内は定数ですから、それぞれくくり出すことができて、
{f(a)-ε}∫[x-δ,x+δ]dx<∫[x-δ,x+δ]f(x)dx<{f(a)+ε}∫[x-δ,x+δ]dx
と書けるから、あとは定数の積分を実行して
{f(a)-ε}*2δ<∫[x-δ,x+δ]f(x)dx<{f(a)+ε}*2δ。
で、結局この積分はεで上と下から押さえられるので、ε→0で形式的に∫[x-δ,x+δ]f(x)dx=f(a)∫[x-δ,x+δ]dxと表現できる、と。
※連続な関数の積が連続になることは省略。