２次形式

質問

Aを３×３の対称行列2次曲面（ｘｙｚ）A(転置（ｘｙｚ）)＝１ が楕円面になるときの条件は、Aはグラム行列でしょうか。また、ｎ次元の場合はどうでしょうか。また、与えられたｎ次正方行列が、グラム行列であるか否かを調べる方法をお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

Aを3×3の対称行列
2次曲面(x,y,z)A(x;y;z)=1が楕円面になるときの条件は、
Aはグラム行列ではなく
Aは正則グラム行列(正定値エルミート行列)
です
Aが正則でないグラム行列の場合は、
2次曲面(x,y,z)A(x;y;z)=1
は楕円柱面になります

与えられたn次正方行列
A
の共役転置行列を
A*
とすると
A*=A
となれば,Aはエルミート行列となります
実対称行列はエルミート行列となります

与えられたn次正方行列
A
の全ての固有値λに対して
λ>0
となれば,Aは正定値行列となります

Aがエルミート行列で、
Aが正定値行列であれば、
Aは正則グラム行列(正定値エルミート行列)
となります

Aを3×3の実対称行列
Aの固有値を
λ=1/a^2>0
μ=1/b^2>0
ν=1/c^2>0
対角行列Hを
H=
(λ,0,0)
(0,μ,0)
(0,0,ν)
とすると
L^{-1}AL=H
となる直交行列Lが存在するから
(X;Y;Z)=L^{-1}(x;y;z)
とすると
A=LHL^{-1}
だから
1=(x,y,z)A(x;y;z)
=(x,y,z)LHL^{-1}(x;y;z)
=(X,Y,Z)H(X;Y;Z)
=λX^2+μY^2+νZ^2
=(X/a)^2+(Y/b)^2+(Z/c)^2
∴
(X/a)^2+(Y/b)^2+(Z/c)^2=1

3軸の半径が1/√λ,1/√μ,1/√νの楕円面となる
ためには
固有値は全て正
λ>0
μ>0
ν>0
でなければなりません

お礼

わかりやすい解答をありがとうございました。