数学

質問

Aが実対称行列で、u_1,,,u_nがAの固有ベクトルで、正規直交基底とします。
Au_i=λ_iu_iとして、λ_1>=,,,λ_nとします。
WをR^nのi次元の部分空間としたとき、
λ_i>=min_(u∈W, u≠0)(u^(転置)Au)/u^(転置)u
となる証明をどなたかお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

R^n の元で 0 ではないもの u について、
u の長さを r,
u/r の正規直交基底 { u_1,u_2,…,u_n } 上の成分表示を
u/r = (c_1)u_1+(c_2)u_2+…+(c_n)u_n と置きます。
r は正の実数、c_1,c_2,…,c_n はどれも実数です。

この様に置くと
(u^(転置)Au)/u^(転置)u = (λ_1)(c_1)^2 + (λ_2)(c_2)^2 + … + (λ_n)(c_n)^2
ですから、 これの min_(u∈W,u≠0) が
u_k ∈ W となるうちで最小の λ_k であることは、自明かと思います。

dim W = i であれば、それは λ_i,λ_(i+1),…,λ_n のどれかです。