直線2x-y+4=0…(1)に関して直線x+y-3=0

質問

直線2x-y+4=0…(1)に関して直線x+y-3=0…(2)と対称な直線を求めよ

以下のように解いたのですが答えと一致しません。解答のどこに間違いがあるか教えてください。

題意の直線上にある点をP(x,y)とし、(2)を通る点をQ(s,t)とする。
P,Qから(1)の距離は等しいから
|2x-y+4|/(√4+1)=|2s-t+4|/(√4+1)
|2x-y+4|=|2s-t+4|
2x-y+4=±(2s-t+4)
この式を連立して
2x-y+4=2s-t+4…(3)
2x-y+4=-(2s-t+4)…(4)

(3)+(4)より4x-2y+8=0
よって答えは2x-y+4=0

ですが答えは、x+7y-23=0です。
よろしくお願いします。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

＞|2x-y+4|/(√4+1)=|2s-t+4|/(√4+1)
この式は点PとQから直線2x-y+4=0までの距離が等しいということを示してますが、PとQが違う点であることが保障されていませんので、結果として同一の点PとQから直線2x-y+4=0までの距離が等しいという、当たり前のことを示しているだけです。

＞|2x-y+4|=|2s-t+4|、2x-y+4=±(2s-t+4)この式を連立して
この解き方もおかしい。|2x-y+4|=|2s-t+4|は
「2x-y+4=+(2s-t+4)　または　2x-y+4=-(2s-t+4)」　の意味のはず。
同時には（0のとき以外）成り立たない2式を連立させることはできません。

質問者様の解法の精神を生かして題意を満たす直線上の点をP(x,y)、直線（2）上にあって点Pの直線（1）に関して対称な点をQ(s,t)とすると

PとQの中点（(x+s)/2,(y+t)/2)が2x-y+4=0　の上にあるから
（x+s)-(y+t)/2+4=0 2x+2s-y-t+8=0 2x-y=-2s+t-8 …（3）

PとQを結ぶ直線と（1）は直交するから
（(y-t)/(x-s)）×2=-1 　2(y-t)=s-x x+2y=s+2t　…（4）　

Qは（2）の上の点だから　s+t-3=0　t=3-s　…（5）

(5)を(3)に代入すると　2x-y=-3s-5 …（6）
(5)を(4)に代入すると x+2y=6-s　　…（7）

（6)-(7)×3 -x-7y=-23 x+7y-23=0

回答No.4

178-tall

>ANo.2
の題意は、曲解でした。

以下、ステップ・バイ・ステップの例。

　y = 2x + 4 …(1)
　y = -x + 3 …(2)

(1) の 1 点
　P1 = (0, 4)

点 P1 を通り (1) に直交する直線、
　y = -0.5x + 4 …(3)

(1) と (2) の交点 P2
　2x + 4 = -x + 3
　3x = -1
　P2 = (-1/3, 10/3)

(2) と (3) の交点 P3
　-x + 3 = -0.5x + 4
　0.5x = -1
　x = -2
　y = 5
　P3 = (-2 5))

(1) に対する点 P3 の対象点 P4
　P4 = (2, 3)

点 P2, P4 を結ぶ直線 y = ax + b は？
　P2 : 10/3 = (-1/3)a + b
　P4 : 3 = 2a + b
　　　　↓
　a = -1/7, b = 23/7
なので、たとえば、
　 7y = -x + 23
など…。

回答No.3

noname#227255

|2x-y+4|=|2s-t+4|からは、sとtの関係が出てこないので、点Q(s,t)が直線(1)上にある（点Q(s,t)と直線(1)との距離が0である）としても、すべての点Q(s,t)について成り立ち、答えが直線(1)に一致しています。

直線(2)を変形すると、y=-x+3になり、点Qは(s,-s+3)と表せるので、点Qと直線(1)との距離は、
|2s-(-s+3)+4|/√(2^2+1^2)=|3s+1|/√5
これから、3s+1=0を満たすs=-1/3が、直線(1)と(2)の交点のx座標になり、
このときy=-(-1/3)+3=10/3
よって、直線(1)と(2)の交点は、(-1/3,10/3)

ここで、質問にあるように、|2x-y+4|=|3s+1|として、2x-y+4=3x+1を考えると、
2x-y+4=3x+1
-x-y+3=0
x+y-3=0
となって、直線(2)に一致するので、同様に2x-y+4=-(3x+1)を考えると、
2x-y+4=-(3x+1)
5x-y+5=0
が答えになる筈だと思いましたが、誤りでした。
この誤りは、直線(1)上の点(0,4)とそれぞれの直線との距離から明らかになります。
点(0,4)と直線(2)との距離は、|0+4-3|/√(1^2+1^2)=1/√2
点(0,4)とこの直線との距離は、|5*0-4+5|/√{5^2+(-1)^2}=1/√26

そして、正解は次のようになります。
直線(1)を変形すると、y=2x+4になるので傾きは2であり、直線(2)上の点(0,3)を通り、直線(1)に垂直な直線は、y=-x/2+3
直線(1)とこの直線の交点のx座標は、2x+4=-x/2+3からx=-2/5、
このときy=2*(-2/5)+4=16/5
よって、直線(1)とこの直線の交点は、(-2/5,16/5)
点(0,3)をこの点(-2/5,16/5)に関して対称移動すると、点(-4/5,17/5)
これから、求める直線は、直線(1)と(2)の交点(-1/3,10/3)とこの点(-4/5,17/5)を通るので、
傾きは、(10/3-17/5)/{-1/3-(-4/5)}=-1/7
以上から、求める直線は、
y=-{x-(-1/3)}/7+10/3=-x/7+23/7
7y=-x+23
x+7y-23=0

※
この解法のポイントは、直線(2)上の点を(0,3)と特定することによって、簡単にしていることです。

回答No.2

178-tall

題意は？

　y1 = 2x + 4 …(1)
　y2 = -x + 3 …(2)
　として、直線 (1) に対し直線 (2) と対称な直線 y3 を求めよ …

らしい。

ならば、y2 = y1 + (y2-y1) と対称な y3 = y1 - (y2-y1) = 2y1 - y2 = 5x + 5 なのでは？