熱力学 外の気体からされた仕事＝中の気体がした仕事?

質問

本によっては、熱力学第一法則の書き方が、
ΔU＝Q＋W
ΔU＋W＝Q
ってあります。上のWは「外の気体からされた仕事」で、下の場合のWは「中の気体がした仕事」となっていました。それぞれ、W(外)、W(中)とする。
ってことは、
-W(外)＝W(中)
ということになりますよね?
こう考えてしまうと、矛盾する問題が出てきてしまいました。
僕の中では等圧変化のときしか、成り立たないような気がします。

回答No.3

nhojutu · ベストアンサー

#2です。
大学生でしたか。失礼しました。
「橋本流」なんて久しぶりに聞いて(^_^;)
ちょっと懐かしくなりました。

そうです。
準静的に動かすためには何か別の力が必要です。

以下補足ですが、外力が何も無い場合、
おっしゃるとおりピストンは速度を持ちます。
そしてピストンが停止する位置も、準静的な時より
遠くになります。
（止まるかどうかはわかりませんが…）

ちょっと長い説明が必要ですが、
気体がする仕事は、
（気体の圧力）*（体積）
という説明を見たことがあるかもしれませんが、
これは実は間違いです。
これは、準静的のときしかなりたたない。

気体がする仕事は、本当は
（気体にかかる圧力）*（体積）
です。だから外力が働かない今回の場合、
気体がする仕事は

p2 * dV

となります。

その理由は、摩擦のある平面で質点に力Fを
加えて加速、同じ力で減速し、距離Lの点で止める
場合を考えることでわかります。
この質点に加えられた正味の仕事は、Fによらず
（摩擦力）*（移動距離L）
で求まるからです。
（つまり、自分が加える力Fではなく、外から
　加わる力だけで決まる。）

すると、今回の場合、気体がした仕事は

p2(V2'-V1)

です。
熱力学の第１法則より、内部エネルギーの変化は

3/2(p2V2'-p1V1) = -p2(V2'-V1)

なので、これからV2'を求めると、

V2'=V1 * {(3/5)*(p1/p2) + 2/5} 　　(1)

となります。
p1>p2なのでV2'>V1は必ず言えます。

一方で、準静的の場合、

p1* (V1^γ) = p2* (V2^γ)

なので、V2を求めると、

V2 =V1 * (p1/p2)^γ　　　　(2)

となります。
あとは両者のグラフを書くと、必ず

V2' > V2

となることがわかります。
この結果は、p-Vグラフを書くとわかりますが、
外力が無い場合、つまり準静的でない場合、
エントロピーが高くなることを意味しています。

回答No.2

nhojutu

橋本流がどういう問題なのか存じませんが，

>>ゆっくりと膨張します

この表現がちょっと微妙ですね．
通常熱力学では，「ゆっくり」＝「準静的」を
意味します．つまり，瞬間瞬間でつりあいが
成り立つような場合に使います．

今回は，p2>p1とのことなので，ほかに何か
外力がないと，膨張過程でつりあいがとれません．
大気圧のほかに別の力はかかっていませんか？
例えば手で押すとか．

そして，計算が合わないのは外力が
仕事をしたからだと考えられます．

ちなみにですが，もし「ゆっくり膨張」
するのであれば，中の気体のする仕事は
計算できます．断熱変化なので，以下の
関係がなりたちます．

pV^γ=C（一定)　　(1)

この公式が使えます．Cにはとりあえず，

C = p1 * V1^γ

を入れておきます．気体がする仕事は，

∫p dV　　(2)

ですから，(1)を(2)に代入できます．
murakkusuさんが高校3年生なら積分は
実行できますよね．（積分区間はV1→V2）

この答えは，

W=3/2(p1V1-p2V2)　　(3)

となります．
橋本流の答えとちょっと違うようですが，
ミスなどないか確認してください．
ここは同じになるはずです．

補足

ありがとうございます。
ちなみに私は大学生です。家庭教師をやっていて、ちょっと説明できなくて困っていました。
手元に本がないので、適当に書きましたが
「ゆっくりと膨張します」とは書いていたか定かではありません。
とにかく、ピストンの固定を取ったら、膨張しますよね?んで、P1→P2になると思うのですが、その時、した仕事を求めろって問題です(でも、普通に固定を取っただけだと、ピストンが速度を持ってしまい、つりあいの位置を中心に単振動をしてしまいそうだ・・・)。
つまり、準静的に動かすためには、外界から大気圧P2以外の力が必要って事になるって解釈でいいのですか？

回答No.1

komakomachi

物理学では基本的にどっちかを正(＋)にします
なので、-W(外)＝W(中)ということは、内側にした仕事が正(＋)なんですよね。
だったら外側にした仕事は負でいいですよ。

補足

早速の回答ありがとうございます。質問の仕方が、へたくそでごめんなさい。それは、わかってるんです。
ただ、、-W(外)＝W(中)としてしまうと、矛盾してしまう問題があるんです。
例えば、(橋本流にある問題なのですが・・・)
大気圧をP2で、ピストンの問題(摩擦なし)。
最初ピストンを固定しておく(系は断熱の壁で覆われているとする)
P1(＞P2)、V1、T1
で、ピストンの固定をはずすと、最初大気圧より、圧力が大きかったので、ゆっくりと膨張します。そして、
P2,V2,T2
という状態なる。
このとき気体(内部)がした、仕事を求めたいのですが、その時、、-W(外)＝W(中)の関係を使うと、害気圧は常にP2だから、W(外)＝-P2(V2-V1)ですよね。だから、答えはW(中)=P2(V2-V1)となってしまいます。
でも、実際の答えは、
W(中)=2/3(P2V2-P1V1)となります。(Q=0より、ΔU＝Wから簡単に求まる。)