熱力学 理想気体について

質問

こんにちわ、初めて質問します。
「１モルの理想気体で、d'Q=(Cp/R)PdV+(Cv/R)VdP を示せ。」
という問題なのですが、なかなか出来ません。式変形をすれば解けるらしいのですが、状態方程式のpV=nRTから求めていけばいいのか、それとも微小変化に対する熱力学第一法則のdU=d'W+d'Qから求めていけばいいのか…そしてどうやって変形していけばいいのか詰まっています。できれば具体的に教えて欲しいです。お願いします！

回答No.3

jamf0421 · ベストアンサー

蛇足かも知れませんが、馬鹿正直にやるとして...
dQ=dU+PdV
一方
dU=(∂U/∂T)(V一定）dT ＋（∂U/∂V)（T一定）dV
理想気体はUは温度のみに依存しVには依存しないからUをVで微分したのはゼロ、さらに、(∂U/∂T)(V一定）=Cvなので、
dU=CvdT
となります。よって
dQ=CvdT+PdV (1)
ところで
dQ=AdP+BdV (2)
というのですから、(1)と(2)を対応させることにします。理想気体はPV=RTですのでP=RT/Vから
dP=(-RT/V^2)dV+(R/V)dT
となり、これを(2)に代入して整理します。
dQ=(-(ART/V^2)+B)dV +(AR/V)dT (3)
(3)と(1)を比べると、
AR/V=Cv, -(ART/V^2)+B=P
となります。これより
A=CvV/R
B=P+(ART/V^2)=P+CvT/V=(RT/V)+CvT/V=(R+Cv)T/V=CpT/V=Cp(P/R)
を得ます。
従って
dQ=(CvV/R)dP+(CpP/R)dV
となります。（全然スマートでないですが...)

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。こうして一つ一つやっていくのは少し面倒ですが確実な方法ですね。とても参考になりました(^^

回答No.2

fine001

cdt=d(CT)
これを全微分とみなします。TはPとVの関数ですから、
d(CT)=(∂[CT]/∂V)pdP+(∂[CT]/∂P)vdP
= Cp(∂T/∂V)pdV+Cv(∂T/∂p)vdP
偏微分を行う際は、他の変数は一定に保っておかねばなりません。
即ち、体積Vで偏微分する時は、圧力Pを一定に保つ、また、その逆です。

お礼

回答ありがとうございました。
やっとすっきりしました(^^; そんなにややこしいことはしてないと分かりました。もっと勉強して理解していきたいと思います。

回答No.1

fine001

Q=CdT
Cはモル比熱です。
d'Q=Cp(∂T/∂V)pdV+Cv(∂T/∂p)vdP
PV=RTより
∂T/∂V=P/R , ∂T/∂p=V/R
したがって、d'Q=(Cp/R)PdV+(Cv/R)VdP

補足

∂T/∂V=P/R , ∂T/∂p=V/R を使えば良かったんですね。
でもなぜ d'Q が Cp(∂T/∂V)pdV+Cv(∂T/∂p)vdP となるのかがわかりません。どうやったらこの形になるんですか？