ヒルベルトの零点定理を使うこの問題を教えて下さい

質問

イデアルJ=<x^2+y^2-1,y-1>があるとき、f∈L(V(J))であってf∉Jであるような多項式fを求めよ。
という問題です。
V(J)がアフィン多様体、L(V(J))が多様体Vのイデアルです。
どなたか分かる方、お願いいたします。

回答No.1

jcpmutura

f(x,y)=y-1-x
とすると
イデアル
J=<x^2+y^2-1,y-1>
があるとき
f∈J
を仮定すると
f(x,y)
=y-1-x=(x^2+y^2-1)g+(y-1)h
となるg,hがなければならないけれども
左辺はxの次数=1,右辺はxの次数≠1だから
f(x,y)=y-1-x≠(x^2+y^2-1)g+(y-1)h
だから
fはJの要素でない

V(J)={(x,y)|g∈J→g(x,y)=0}
だから
x^2+y^2-1∈J→x^2+y^2-1=0
y-1∈J→y-1=0
↓
y=1
x=0
だから
V(J)={(0,1)}
L(V(J))={f|f(0,1)=0}
f(0,1)=y-1-x=1-1-0=0だから
f∈L(V(J))