イデアルのアフィン多様体の証明問題を教えて下さい

質問

この問題が分からず困っています。
イデアルI,Jがあり、I,Jで定義されるアフィン多様体V(I),V(J)がある。
この時
(1)V(I∧J)=V(IJ)=V(I)∨V(J)
(2)V(I+J)=V(I)∧V(J)
を示せという問題です。
分かる方、どうかお願いいたします。

回答No.1

jcpmutura

(1)
a∈V(I∩J)…(1.1)
h=∈IJ
とすると
h=Σ_{k=1～n}(f_n)(g_n)
となる
{f_k∈I,g_k∈J}_{k=1～n}
がある
(h∈I)&(h∈J)
だから
h∈I∩J
だからこれと(1,1)から
h(a)=0
だから
a∈V(IJ)
だから
V(I∩J)⊂V(IJ)…(1.2)

a∈V(IJ)…(1.3)
f∈I∩J
とすると
(f∈I)&(f∈J)
だから
ff∈IJ
だからこれと(1,3)から
ff(a)={f(a)}^2=0
だから
f(a)=0
だから
a∈V(I∩J)
だから
V(IJ)⊂V(I∩J)
∴これと(1.2)から
V(I∩J)=V(IJ)

a∈V(IJ)
f∈I
g∈J
とすると
fg(a)=f(a)g(a)=0
だから
f(a)又はg(a)=0
だから
a∈V(I)又はa∈V(J)
だから
a∈V(I)∪V(J)
だから
V(IJ)⊂V(I)∪V(J)…(1.4)

a∈V(I)∪V(J)…(1.5)
h∈IJ
とすると
h=Σ_{k=1～n}(f_k)(g_k)
となる
{f_k∈I,g_k∈J}_{k=1～n}
があるこれと(1.5)から
{f_k(a)=0}_{k=1～n}
又は
{g_k(a)=0}_{k=1～n}
だから
h(a)=Σ_{k=1～n}(f_k)(a)(g_k)(a)=0
だから
a∈V(IJ)
だから
V(I)∪V(J)⊂V(IJ)
∴これと(1.4)から
V(IJ)=V(I)∪V(J)

(2)
a∈V(I+J)…(2.1)
f∈I
g∈J
とすると
ff∈I
gg∈J
ff+gg∈I+J
だからこれと(2.1)から
(ff+gg)(a)={f(a)}^2+{g(a)}^2=0
だから
f(a)=g(a)=0
だから
a∈V(I)∩V(J)
V(I+J)⊂V(I)∩V(J)…(2.2)

a∈V(I)∩V(J)…(2.3)
h∈I+J
とすると
h=f+g
f∈I
g∈J
となるf,gがあるこれと(2.3)から
f(a)=g(a)=0
だから
h(a)=f(a)+g(a)=0
だから
a∈V(I+J)
だから
V(I)∩V(J)⊂V(I+J)
これと(2.2)から
V(I+J)=V(I)∩V(J)