数１

質問

どなたか数１の図形と計量について教えてください。問題 AB＝3 BC＝8 角ABC＝60°の三角形があります。辺AB.AC上にそれぞれＰ、Ｑをとって、線分ＰＱを折り目として三角形ABCを折ると点Aが辺BC上の点Ｒに重なり、BR＝2となった。この時のACとAR、PR、QRを求めなさい

自力で解いてみてAR＝ルート7、PR＝５分の７とでました。あってますか？QRがどうしてもわかりません。

どなたかお願いします。

回答No.5

info222_

>AR＝√7、PR＝7/5とでました。あってますか？
あってます。

>QRがどうしてもわかりません。
余弦(第2)定理を使って解けばいいです。

AC=√(AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos(B))=7

cosC=(BC^2+AC^2-AB^2)/(2*BC*AC)=13/14

CR=BC-BR=8-2=6

CR^2+(AC-QR)^2-QR^2=2*CR*(AC-QR)*cosC
36+(7-QR)^2 -QR^2=12(7-QR)*(13/14)
85-14QR=78-(78/7) QR
7=(20/7) QR
∴QR=49/20

回答No.4

178-tall

A から BC 上へ下ろした垂線の足を D とすると？
　BD = AB*cos(60 deg) = 3/2
　AD = AB*sin(60 deg) = 3√3/2
ここでビタゴラス算式を使えば、
　AR = √{ AD^2 + (BR-BD)^2 } = √7
を得る。

>QRがどうしてもわかりません。

AR の中点を M とする。
題意により、Q は 点 M にて AR に立てた垂線と辺 AC との交点である。
△ARC の ∠CAR = θ についての余弦算式は、
　cosθ = { 7^2 + (√7)^2 - (8-2)^2 }/(2*7*√7) = 10/(7*√7)
∴ QR = AQ = AR/(2cosθ) = √7*7*√7/10 = 7^2/10

また、P は 点 M にて AR に立てた垂線と辺 AB との交点。
△ABR の ∠BAR = φ についての余弦算式は、
　cosφ = { 3^2 + (√7)^2 - 2^2 }/(2*3*√7) = 2/√7
∴ PR = AP = AR/(2cosφ) = (√7)^2/2^2 = 7/4

回答No.3

noname#227255

この三角形をxy平面上で考え、点Aの座標を(0,0)、点Bの座標を(3,0)とおくと、点Cの座標は(3-8cos60°,8sin60°)=(-1,4√3)とおけます。
AC^2=(-1)^2+(4√3)^2=49→AC=7
点Rの座標は(3-2cos60°,2sin60°)=(2,√3)であるから、AR^2=2^2+(√3)^2=7→AR=√7
点AとCを通る直線は、y=-4√3x－(1)
点BとCを通る直線は、y=-√3(x-3)=-√3x+3√3（参考）
三角形APQとRPQは、3辺の長さがそれぞれ等しく合同
点AとRから辺PQに下した垂線の足をそれぞれH1、H2とすると、直角三角形APH1とRPH2は、1辺とその両端の角がそれぞれ等しく合同
よって、PH1=PH2であるから、H1とH2は一致します。
また、AH1=RH2であるから、H1(H2)は線分ARの中点Mになり、この座標は(1,√3/2)
そして、線分ARと点PとQを通る直線は、この中点Mで直交します。
線分ARの傾きは√3/2であるから、点PとMとQを通る直線は、
y=-2(x-1)/√3+√3/2=-2√3x/3+7√3/6－(2)
この直線とx軸の交点Pのx座標は、-2√3x/3+7√3/6=0から、x=7/4
よって、AP=7/4であり、PR=APであるから、PR=7/4
また、この直線と直線(1)の交点Qのx座標は、
-2√3x/3+7√3/6=-4√3xから、x=-7/20
これを(1)に代入して、y=7√3/5
よって、交点Qの座標は(-7/20,7√3/5)
AQ^2=(-7/20)^2+(7√3/5)^2=49^2/20^2→AQ=49/20
QR=AQであるから、QR=49/20

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

AC=7 (三角形ABCに余弦定理)
AR=√7 (三角形ABRに余弦定理)
までは合っています。
PR=AP=x , BP=3-x とおいて三角形ABPに余弦定理を適用すると
(3-x)^2 + 2^2 - 2*(3-x)*2*cos60° = x^2 より x=5/4

次に、三角形ABCに戻って余弦定理より
cosC = (7^2+8^2-3^2) / 2*7*8 = 13/14
QR=AQ=y , CQ=7-y とおいて三角形CQRに余弦定理を適用すると
(7-y)^2 + 6^2 - 2*(7-y)*6*(13/14) = y^2 より
y=49/20 でしょうか。

回答No.1

asuncion

＞問題 AB＝3 BC＝8 角ABC＝60°

別の質問におけるAC = 7という条件は結局ありですか？なしですか？