微分積分学の問題です

質問

添付した問題のやり方がわかりません。
答えは4πとなるそうなのですが、何回解いてもたどり着けないのでどなたかよろしくお願いします

回答No.2

info222_

積分変数のσの説明がありませんね!

dσ が球面S上の微小面積素だとして回答します。
(1) S={(x,y,z)| x^2+y^2+z^2=1}
∫ [S] dσ=∫ [S] dσ/1^2
立体角の定義より
=4π
[別解]
z=√(1-x^2-y^2), z_x=∂z/∂x=-x/√(1-x^2-y^2),z_y=∂z/∂y=-y/√(1-x^2-y^2),
g(x,y)=√(1+z_x^2+z_y^2)=1/√(1-x^2-y^2)
∫ [S] dσ=∫∫[S] g(x,y) dxdy
=2∫[]-1,1] dy ∫[-√(1-y^2), √(1-y^2) ] dx/√(1-x^2-y^2)
=2∫[]-1,1] π dy =2*2π =4π

(2)
S={(x,y,z)| x^2+y^2+z^2=1}
∫ [S] f(x,y,z) dσ=∫∫[S] x g(x,y) dxdy
=2∫[]-1,1] dy ∫[-√(1-y^2), √(1-y^2) ] x dx/√(1-x^2-y^2)
=2∫[]-1,1] dy *0 (x の奇関数の対称区間の積分)
=0

回答No.1

info222_

dσ の σ の定義が書かれていません。
定義をお書きください。