微分積分なのだろうか？？？

質問

親から仕事の関係だと言われ、数学の問題を解くように頼まれたのですが、高校卒業してから１年以上経ってるので忘れてしまいました

縦・横それぞれ３０ｃｍの板から箱を作ったときに、この容積が最大となるＨ（高さ）はいくらか？

ってことなんですが、答えは出てるみたいなのですが途中の式がほしいということです。親は微分積分を使えば解けると親は言っています。公式も何もかも忘れてしまったので解き方がわかりません
これだけしか情報がないのですがよろしくお願いします

回答No.2

juunishichou · ベストアンサー

高さをｈ、体積をｖとします。

ｖ＝ｈ（３０－２ｈ）＾２
　　｜　　　｜
　 高さ　　 ｜
　　　　　底面積
（30センチから高さの分を引き、縦横ともに同じ長さなので二乗）

展開して・・・
ｖ＝４ｈ＾３－１２０ｈ＾２＋９００ｈ

ここでｈで微分して・・・
ｖ´＝１２ｈ＾２－２４０ｈ＋９００
　　＝１２（ｈ＾２－２０ｈ＋７５）

極大値、極小値であるｖ´＝０となるｈを求める・・・

上より
０＝１２（ｈ－５）（ｈ－１５）
よって　ｈ＝５，１５

ｈ＝１５　のとき　ｖ＝０
よって極大値は５

よって容積が最大となるｈ（高さ）は５

―計算ミスがあったらごめんなさい

お礼

ありがとうございました
親が何て言うかわからないですが報告させていただきます
高校時代の数学はほとんど全て忘れてしまったので助かりました

回答No.7

gamasan

もうちょっと考えてみました
表面積が900の立方体ができれば　おそらく最大の容積
になります（感覚です。汗）

一面の面積が900÷6＝150
この平方根ですから１辺は5√6
およそ12.24　容積1837.11

問題は普通に切り出しただけでは４面ぶんしか取れません
あとの２枚は切り貼りになりますが　それが許されるなら
ということで　お粗末さまです。

回答No.6

gamasan

あらら　知らない間に条件が増えていますね
展開図を書いて折って仕上げるのですか。。。

切り分ける方法で考えていたのですが
４番さんが例にあげた15×15×7.5の直方体が
ロス無く切り分ける方法で　容積は1687.5になります
これを超える切り方はないかと考えていたのですが
おそらくこれが答えでしょう。

ちなみに置き方によって高さが変わってしまうとの疑問ですが
数学的考えで　高さが最大になるのは何センチ？と
聞かれてるのですから
３辺のうち１番長い辺が回答になります。
ですから　５番さんの回答では２０センチが回答ですね

回答No.5

eatern27

x　z　x　z
x　□
y□□□□
x　□

のように切るとします。
x,y,zは対応する辺の長さです。(非常に分かりにくいですが。。。)

x+y+x=30
x+z+x+z=30より、

y=30-2x
z=15-x
となります。

容積V＝xyz=x(30-2x)(15-x)=2x(15-x)^2

dV/dx=10(x-15)(x-5)より、
dV/dx=0となるのは、x=5,15のとき。
0≦x≦15の範囲で増減表を書くと、x=5の時に最大になる事が分かります。

この時、箱の各辺の長さは、
5cm,10cm,20cm
となっています。

回答No.4

eatern27

板を６つのパーツに切り分けて、６つの板を(釘などで)組み立てて箱を作る。
紙のように四隅などを切って、折って箱を作る。(展開図を組み立てるイメージ)

という選択肢がありますが、どちらになるのでしょうか？

まぁ、いずれにしても、
フタなし(５面)で、四隅を切り落とし、折って箱を作る
と考えてよいのならば、#2さんのような答えになるかと思いますが、

そうでないのなら、「板をどんな形に切るのか」という事も考慮する必要が出てきてしまうので、最大値を求めるのは困難ではないかと思います。

例えば、#2さんは、板を
．□
□□□
．□
の形に切って、折って箱を作るとしているのですが、
□
□□□
□
の形や、
□
□□
．□□
の形など、切り方は数多く考えられますよね。その全てについて考慮するのは困難でしょう。

さらに、
＞Ｈ（高さ）はいくらか？
＞箱を作るって言ってたので６面塞がったものでお願いします
との事ですが、６面塞がったものですと、(立方体でない限り)箱の置く向きによって、高さも変わってしまいますが、
どれを高さと呼ぶのかもはっきりしません。

例えば、「６面－組み立てる」というパターンであるとして、15cm×15cmを2枚、15cm×7.5cmを4枚用意すれば６面が塞がった箱を作れます。この箱は、ある向きに置けば高さは7.5cmですが、別の向きに置けば、高さは15cmになりますが、この箱の高さはいくつになるのでしょうか？

補足

板を６つのパーツに切り分けて、６つの板を(釘などで)組み立てて箱を作る。
紙のように四隅などを切って、折って箱を作る。(展開図を組み立てるイメージ)

という選択肢がありますが、どちらになるのでしょうか？

これは紙のように四隅を切って折って箱(立方体)を作るというのでお願いします

形は
　□
□□□□
　□
というような形としてお願いします

回答No.3

gamasan

ん～　できる直方体（立方体）の表面積はＭＡＸ900
ですから
縦横高さをＸＹＺと置くと
２（ＸＹ＋ＹＺ＋ＺＸ）＜900ということになります
ＸＹ＋ＹＺ＋ＺＸ＜450

２番さんの回答を検証しますと
縦　横　が20　高さが5　となってます
20^2＋100＋100＝600
ですから　間違っています

Ｖ＝ＸＹＺが基本です

回答No.1

gamasan

もうちょっと　条件がいるのでは？
板というからには　厚みは？
箱というんですから　6面塞がった物？
あるいは中味の容積を考えるなら　5面の升でもいいんですよね

箱全体の容積が問題なのか紙でできたものと同じ考えで
厚みを無視できるのか
板と考えるなら組み立てる時に糊代が必要になります

補足

確認を取ったら紙で作って、厚さは無視していいそうです
箱を作るって言ってたので６面塞がったものでお願いします