問題が全然解けない

質問

次の数学の問題が全然解けません。
どなたか解ける方、詳しい解説お願いします。
前回投稿時、図2が不足していたので、
再投稿しました。前回質問には、問題に不備があるので、
閉め切ります。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#227255 · ベストアンサー

〔1〕
正三角柱と正四角錐が共有する頂点の数は、正三角柱の頂点の数に等しく、3*2=6
正四角錐独自の（正三角柱と共有しない）頂点の数は、正四角錐の数に等しく3
よって、答えは6+3=9

〔2〕
この展開図から、正三角形CDEが正三角柱の1つの底面になります。
この多面体の頂点A、Bから正三角柱の側面に下した垂線の足をH1、H2とすると、AH1とBH2は正四角錐において1辺の長さが1の正方形を底面としたときの高さになるので、三平方の定理から、
AH1^2=BH2^2={1^2-(1/2)^2}-(1/2)^2=1/2
よって、AH1=BH2=√2/2
H1H2=1/2であるから、2点A、B間の距離は、上底がH1H2=1/2、AH1=BH2=√2/2、∠AH1H2=∠BH2H1=90°+60°=150°の等脚台形の下底の長さになるので、
1/2+{√2/2cos(180°-150°)｝*2=(1+√6)/2

〔3〕
求める面積は、正三角柱の側面の面積1^2=1と、底辺の長さが1で 高さが2点A、B間の距離から1を引いたものの1/2になる二等辺三角形2つ分の面積の和になるので、
1+1*{(1+√6)/2-1}/2/2*2=(3+√6)/4

※実際に展開図を組み立ててみないと、わからないと思います。

お礼

詳しい解答ありがとうございました。

回答No.3

noname#227255

ANo.1とANo.2の回答者です。

試験の際、展開図を切り抜いて組み立てる訳にはいかないので、簡単に（フリーハンドでも可）この多面体を描いてみます。
そうすると、何のために〔1〕があるのかが読めてきます。
既に回答した通り、正三角柱と正四角錐が共有する頂点の数は、正三角柱の頂点の数に等しく、3*2=6
正四角錐独自の（正三角柱と共有しない）頂点の数は、正四角錐の数に等しく3
このうち、前者6の頂点には辺が5本ずつ集まり、後者3の頂点には辺が4本ずつ集まります。
よって、展開図から、点C、D、Eには辺が5本ずつ集まることがわかるので、正三角形CDEは正三角柱の1つの底面になり、点A、Bには辺が4本ずつ集まることがわかるので、点A、Bは正四角錐独自の（正三角柱と共有しない）頂点になります。

回答No.2

noname#227255

〔3〕の別解です。

上底が1、下底が2点A、B間の距離(1+√6)/2、高さが1/2の等脚台形2つ分の面積であると考えると、
{1+(1+√6)/2}/2/2*2=(3+√6)/4