最急降下(上昇)方向とは??

質問

この問題が解けません。

【問題】
z=2x+2y+1((1)式)の、(x,y)=(0,0)の点における最急降下方向を答えよ。

答 : π/4

x=cos@, y=sin@と置いて(1)式に代入し、三角関数を合成してzが最大となる時の@の値を求めるそうなのですが・・・

-「(x,y)=(0,0)の点における最急降下方向」とは何なのか?
-「x=cos@, y=sin@」と置く理由は?
-「最急降下」なのになぜ「zが最大となる時の@の値」を求めるのか?

これらをできるだけ簡単に教えてください。テキストには説明がなく、インターネットでも引っ掛からないので困っています。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

-「(x,y)=(0,0)の点における最急降下方向」とは何なのか?

(x,y)=(0,0)の点(0,0,2)から水平方向に単位長さ離れた位置(cos@,sun@,2)におけるzの減少が最も大きくなる方向のことでしょう。
z(0,0)-z(x,y)=2-(2x+2y+2)=-2(x+y)=-2(cos@+sin@)=-2cos(@-pi/4)
cos(@-pi/4)=1の時, つまり@=pi/4 の方向のことです。

-「x=cos@, y=sin@」と置く理由は?

(x,y)=(0,0)の点における最急降下方向の@を求めるためです。

-「最急降下」なのになぜ「zが最大となる時の@の値」を求めるのか?

最急降下の定義で考えるべきです。
z(0,0,2)から水平方向に1だけ離れたz(cos@,sin@,2)の減少分
z (0,0,2)-z(cos@,sin@,2)=-2(cos@+sin@)=-2cos(@-pi/4)
が最小になる@の値を求めるのです。