抵抗が一切ない場合の引力による速度

質問

この前、友達と話していて思ったのですが、何も存在しない空間に大きな質量Mを持つ物体と小さな質量の粒子mをおいたとします。両者の距離を十分とったとすると万有引力が働いて、粒子が質量Mの物体に引き寄せられますが、このとき２物体間の距離が短くなるにつれ粒子の速度が増加し、光の速度までに達するのかどうか疑問に思いました。どなたか教えてください。

回答No.4

damegakusei

No.1を書いた者ですが、
相対論を否定すると言う記述について追記しておきます。

相対論はその前提において、光が慣性力を受けるかの如くその奇跡を描く、としているのです。
速度ｖで落下している空間内（慣性系）で水平方向に光を放つと、それはｖに関係なく、静止系として見た場合と同じ地点に照射される、としているので、これはオカシイ、と言うのが半相対論としての言い分です。（ウケウリですが・・・）

まぁその全てが違うとは言い切れませんが、少なからず胡散臭いと思います。

ちなみに話し振りから想像するに、konekoneuoさんは質点系としてこの問題を振っているかと。
Ｒ≠０としてもＲ→０のような状況まで想定しても問題ないのではないでしょうか?

ちなみに、相対論はそのすべてが間違っている、とは言い切れませんが、そもそも実験により実証できない事を示しても無駄かと。

ちなみに物体がマッハに近づくと音波による衝撃波が発生するのと同様に高速に近づくと反射波による衝撃波のようなものが発生すると思われるので、オソロシ事になるでしょう。
温度があれば放射が起こるので、これは無視できない事となり、云々、超高速は実験できる物だとは思えません。
絶対零度が実現不能だという事は既に既知の如く扱われていますね。

回答No.3

cocksan

大きな物体はの方を座標の原点に固定して小さい方の
運動だけを考えます。

万有引力がF=GmM/r^2の引力なので、
ポテンシャル（≒位置）エネルギーV(x)は
∫Fdr（∞→rまで積分)＝－GmM/r
となります。

V(r)＝-GmM/r

ここで、r→∞（両者の距離を十分とった）とすると、
V(r→∞)＝0

この状態から、お互いが距離rまで近づいたとき、
V(r)＝-GmM/r

このとき、ポテンシャル(位置)エネルギーは、GmM/r
だけ失われているので、はじめの運動エネルギーK=0
とすれば、
K=(mv^2)/2=GmM/r

ここで、小さな物体がどこまで大きな物体に近づける
かですが、大きな物体の半径をRとすると、r=Rまでだ
から、小さな物体の得られる運動エネルギーの最大値は
K=(mv^2)/2=GmM/R

vについて解くと、
v=√(2GM/R)

ここで、R→0とすると、v→∞になるんですが、
実際にはR≠0なので、ある有限の値をとりますね。

また、速度が光速に近づいてくると、ニュートン力学
の範囲を超えてしまいます。つまり相対性理論を使わ
ないと正しい解が得られなくなります。

この問題は加速度系なので、一般相対論を使わないと
取り扱うことが出来ません。簡単な特殊相対論の中で
話をするために速度vで物体が動いているときを考えます。
静止しているときの質量をm0の物体が速度vで動い
ているときの質量mは
m=m0/{1-(v/c)^2}^(1/2)

ここで、ｖ→cとすると、分母→0となり、結果として
質量m→∞となります。
つまり、光速近くではどんなにエネルギーを与えても
ほとんど加速しないと言うことです。
質量を持った粒子の速度は光速に未満、質量0の粒子
は光速でしか運動できません。

もっとも、この場合、
「ニュートン力学で速度は質量に無関係に決まるから
質量の増加した分万有引力の増加も増加するんじゃないの？」
とか
「相対論は光速を上限としているから、つじつまが合うように説明してる」
とかいわれかねないんですが、この問題は
そもそも一般相対論できちんと重力場を扱わないと
解決できない問題です。

また、相対性理論は普通に考えると変な理論ですが、
それは、光速があまりにも早いので日常ほとんど
感じることが出来ないためであって、決して間違った
理論ではないことは物理実験の現場で相対論を使わな
いと話が全く進まない現状が証明しています。

回答No.2

mmky

参考程度に

今住んでる場所、地球の地上ではどの地点でも重力の加速度は同じですね。落下物体の質量の大小、地球より十分に小さいから、にはよらないよね。これと同じなんですね。大きい質量の重力の加速度で決まりますね。大きい質量にはそれなりの大きさがありますので一般的には重力の加速度は光の速度よりは小さくなりますね。地球の場合は９．８ｍ/s^2 ですか。でも宇宙にはブラックホールと呼ばれる半径１ｍぐらいで太陽の何倍もの質量をもった星もありますから、そういう星では重力の加速度が光の速度あるいは以上になっていると考えられてますね。つまり実際的には大きい質量側の条件によるのですね。

回答No.1

damegakusei

光速に至るか否かは恐らく、
相対論的な意味で問われているかと思いますが、
理論物理学の流れは好きでは無いので、
あくまでニュートン力学的立場から考えますと、

位置エネルギーについて、
ｍのもつポテンシャルは距離ｒの時、
－ＧＭｍ／ｒ
として表される。（これは既知とする）

このことより、位置Ｒの地点より運動を開始するならば
距離がＲ→０になるので、
ポテンシャルが－ＧＭｍ／Ｒ→－∞と変化し、
抵抗が一切無い＝エネルギーの欠損が無い
と言う事から、
必然的に運動エネルギーは∞に成らざるを得ない、となります。
このことより、物体の速度は∞であるはず、ですが、
相対論では恐らく、別の解釈を行うと思います。
光速度が唯一最高の速度、と定義されているからです。
恐らく、速度が上がると質量が増えると言うカラクリを使って速度を∞にはしないのでしょうね。

尚、相対論は様々な見地から、
私には決して正しいとは思えません。
リーマン幾何学を用いて複雑な式を立てる事により、
多くの物理学者に夢を与え、
その近似値がニュートン力学と一致するように巧妙に細工されたに過ぎない、と言う話があります。

少なくとも抵抗が一切無いような状況は作り出せないので、
実証できない＝仮定の上でしか成り立たない
と言う話なので、答えに拘る必要は無いのでは無いでしょうか？
上記はニュートンはほぼ正しいだろう、
アインシュタインは不正確であろう、
と言う前提で、上記仮定の元に解いた値です。