計算方法を教えてください

質問

添付の画像の計算方法を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

どうしても手計算でやりたいのなら二項定理を使ってください。
(1+x)^n=Σ[k=0 to n](nCk*x^k)
でx=1/10000=0.0001でn=10000の場合ですね。正確に計算するときは項数が10001で大変ですがxが小さいのでx^kでkが大きいときははほとんど無視できます。
k=0までなら1
k=1までなら1+1=2
k=2までなら1+1+0.49995=2.49995
k=3までなら1+1+0.49995+0.16662=2.66657
k=4までなら1+1+0.49995+0.16662+0.04164=2.70821
k=5までなら1+1+0.49995+0.16662+0.04164+0.00833=2.71653
k=6までなら1+1+0.49995+0.16662+0.04164+0.00833+0.00139=2.71792
と計算できます。

お礼

ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

回答No.5

info222_

f(x)=(1+x)^(1/x) ておくと
求める式は x=1/10000の時の f(1/10000) である。

lim(x->0) (1+x)^(1/x) はネイピア数 (自然対数の底)eの定義式である。
e ≡ lim(x->0) (1+x)^(1/x) =2. 71828 18284 59045 23536 02874 7135 ...

0<x=1/10000<<1なので f(x) の マクローリン展開
f(x)=e-(e/2)x+(11/24)e x^2 -(7/16)e x^3 + ...
を使えば f(1/10000) の計算ができます。
f(0)=e≒2. 71828 18284 59
関数電卓で計算すると
f(1/10000)≒2.71814592682522486

関数電卓が使え使えず手計算により計算する場合は

第1近似 (小数点以下第3位まで正しい)
f(1/10000)≒f(0)=e≒2. 71828 18284 59

第2近似 (小数点以下第7位まで正しい)
f(1/10000)≒e(1-x/2)|(x=1/10000)≒2.7181459143676

第3近似 (小数点以下第11位まで正しい)
f(1/10000)≒e(1-x/2+(11/24)x^2)|(x=1/10000)≒2.7181459268264

第4近似 (小数点以下第15位まで正しい)
f(1/10000)≒e(1-x/2+(11/24)x^2-(7/16)x^3)|(x=1/10000)≒2.71814592682522475

となるので, 小数点以下第何位まで正しく計算したいかで
マクローリン展開の式にx=1/10000を代入した項を評価して, 前から何項までで打ち切れば良いか決めます。

お礼

特に記載していなかったのですが、計算式の意図としてはeの近似値を手作業で求める方法を知りたかったのです。説明不足で申しわけありません。

回答No.4

staratras

(1+1/10000)^10000=（1＋10^(-4))^10^4

1や0.0001のべき乗を求めるのは難しくないので二項定理で展開して近似計算すれば、手計算でもある程度の精度で近似値を求めることは、難しくはありません。

与式=Σ[k=0 to n]nCk10^(-4)
与式=Σ[k=0 to n]((10^4)・(10^4-1)・(10^4-2)・(10^4-(k-1))/k!)・10^-4k

ここで、(10^4),(10^4-1),(10^4-2),(10^4-(k-1))をすべて10^4で近似すると、
与式≒Σ[k=0 to n](1/k!)=1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720…≒2+517/720≒2.71805

なおこの近似は、10^4よりわずかに小さな数を10^4で代用していますので真の値よりわずかに過大になります。与式を関数電卓で計算すると、2.718145927　になりました。
ちなみに　e=2.718281828…です。

回答No.2

178-tall

参照 URL でも…。

参考URL：

http://examist.jp/mathematics/limit/sizentaisu/

回答No.1

asuncion

Wolframに
(1 + 1 / 10000)^10000
と入力すると、自然対数の底に近い値を得ることでしょう。
手で計算するのはあまりに大変。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/