計算機なしで解く方法を教えてください！

質問

添付画像の計算式について、1.047を計算機なしで求める方法はありますでしょうか？

回答No.6

staratras

「「計算機」なしで」という条件に合うかどうか微妙ですが、「計算尺」を使えば一発です。L尺の0.02に対応するD尺の目盛りを見れば10の50乗根が約1.047であることがわかります。計算尺を使い慣れた人であれば関数電卓やパソコンより速いかもしれません。

ただしこの精度まで読み取るのは一般的な長さ10インチの計算尺（写真上）では困難で、長さ20インチの「精密用計算尺」（写真下）が必要でした。

回答No.5

staratras

「計算機なしで」という条件に反するので「番外編」ですが、関数機能がなく√キーだけついている普通の電卓で10の50乗根を求める方法を考えてみました。こうした電卓では√キーを繰り返し押すことにより、平方根(2乗根)だけでなく、4乗根、8乗根、16乗根が次々に求められます。つまりｎ回押せば「２^n乗根」が求められることになります。

そこで10を入力した後、√キーを6回押した64乗根をa、8回押した256乗根をb、11回押した2048乗根をcとすれば10の50乗根≒abc です。
なぜならば　1/64+1/256+1/2048=41/2048≒0.200195≒1/50　だからです。

実際にやってみるとabc≒1.047175641 になりました。
関数電卓では10^(1/50)＝1.047128548 で小数第4位まで正しい結果です。メモリーキーを使えば、キーを押す回数を減らせます。

回答No.4

staratras

指数関数の展開公式
e^x=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+…　を使ってみました。
e^x=10^(1/50) とおいて両辺の自然対数をとれば
x=(1/50)ln(10)≒2.30/50=0.046
e^0.046≒1+0.046+(0.046^2)/2+(0.046^3)/6
=1+0.046+0.001058+0.0000162=1.04707…

∴10^(1/50)≒1.0471

いずれにせよ計算機や対数表を使わないとすればln(10)の数値を覚えておく必要がありそうです。

回答No.3

staratras

もう少し精密に手計算で10の50乗根を求めてみます。
No.2で使った10^xの逆関数である常用対数log(x)を使ってlog(x)=1/50となるxを求めます。
ここでひと桁の整数の対数の値は使えることにします。
(3,5,7の対数値をそれぞれ0.4771，0.6990，0.8451で計算）
(1,0)における接線を使うと、10^xで(0,1)における接線を使ったのと同じことなので
まず3・5・7=105　を使ってlog(1.05)を求め、この点つまり（1.05,log(1.05))での接線を考えます。
log(1.05)=log(105/100)=log3+log5+log7-log100≒0.0212
ここでy=log(x)の(1.05.0.0212)における接線は
y=(x-1.05)/(1.05*ln(10))+0.0212 だからy=0.02 とおくと
x-1.05≒-0.0012*1.05*2.30≒-00290 ∴x≒1.0471

関数電卓で計算すると10^(1/50)≒1.047128548 でした。

下の図で黒い線がy=log(x)のグラフで、赤い線がx=1.05における接線ですが、y=0.02との交点では両者はほとんど重なっています。

回答No.2

staratras

グラフを使って考えてみました。当初単純に、y=x^50のグラフとy=10の交点を考えてみましたが、y=x^50のグラフはx=1の前後で大きく変化するため、パソコンなどの助けなしでは正しく書けそうもありませんでした。

そこで発想を変えてy=10^x のグラフでx=1/50=0.02のときの値を求めることにしました。
幸い、y=10^xのグラフは、x=0の前後では大きく変化せず、かつx=0.02は0に近いので、y=10^xのグラフの（x=0,y=1)における接線、y=(ln10)x+1に代入して近似値を求められます。（lnは自然対数）
∴10^(1/50)≒(ln10)/50+1≒2.30/50+1=1.046

なおy=10^xのグラフは接線の上方にあるので真の値より小さめの近似値です。この方法を使える前提は、ln(10)≒2.30またはlog(e)≒0.4343を覚えていることです。（logは常用対数）

回答No.1

staratras

10の50乗根を計算機を使わずに求めるにはいくつか方法があります。
最も簡単なのは対数表を使うことでしょう。10の50乗根をXとおきます。
X^50=10 常用対数をとると50logX=1より、logX=0.02
対数表を見ると　log1.047=0.01995 log1.048=0.02036 となっていますのでX≒1.047 です。

対数表を使わない場合は近似的な手計算です。
10の50乗根は1よりわずかに大きいと考えられますので10の50乗根=1+x とおきます。
両辺の50乗を二項定理で展開してxの3次の項までとれば
1^50+50C1x+50C2x^2+50C3x^3=10
1+50ｘ+1225x^2+19600x^3=10
∴19600x^3+1225x^2+50x-9=0
これを解くと実数解は　x≒0.05
∴10の50乗根≒1.05